【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,勵(lì)志學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD=120°)進(jìn)行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點(diǎn)E,F(xiàn)(不包括線段的端點(diǎn)).
(1)初步嘗試
如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)類比發(fā)現(xiàn)
如圖2,若AD=2AB,過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,求證:AE=2FH;
在證明這道題時(shí),勵(lì)志學(xué)習(xí)小組成員小穎同學(xué)進(jìn)行如下書寫,請(qǐng)你將此證明過程補(bǔ)充完整
證明:設(shè)DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,
∴AD=2AB=4x,
∴AH=AD﹣DH=3x,
∵CH⊥AD,
∴AC==2x,
(3)深入探究
在(2)的條件下,勵(lì)志學(xué)習(xí)小組成員小漫同學(xué)探究發(fā)現(xiàn),試判斷小漫同學(xué)的結(jié)論是否正確,并說明理由
【答案】(1)①見解析,②見解析;(2)見解析;(3)正確
【解析】(1)先證△ABC,△ACD都是等邊三角形,再證△BCE和△ACF全等即可;
(2)先證△ACE∽△HCF,再利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案;
(3)利用(2)中證得的結(jié)論利用等量代換即可得出答案.
解:(1)①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD=120°,
∴∠D=∠B=60°,
∵AD=AB,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,
∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,
∵∠ECF=60°,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°,
∴∠BCE=∠ACF,
在△BCE和△ACF中,
,
∴△BCE≌△ACF.
②∵△BCE≌△ACF,
∴BE=AF,
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.
(2)∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°,
∴∠BAC=∠ACD=90°,
∴∠CAD=30°,
∴∠ACH=60°,
∵∠ECF=60°,
∴∠HCF=∠ACE,
∴△ACE∽△HCF,
∴=2,
∴AE=2FH.
(3)結(jié)論正確
如圖2中,由(2)可知,設(shè),則,設(shè),則,易知,∴,∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進(jìn)一步普及足球知識(shí),傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了“足球在身邊”知識(shí)競賽,各類獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎(jiǎng)的學(xué)生共50名,請(qǐng)結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù);
(2)在本次知識(shí)競賽活動(dòng)中,A,B,C,D四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機(jī)選取兩所學(xué)校舉行一場足球友誼賽,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段AB,反向延長線段AB到C,使BC=AB,D為BC的中點(diǎn),E為BD的中點(diǎn).
(1)①補(bǔ)全圖形;
②若AB=4,則AE=_____(直接寫出結(jié)果).
(2)若AE=2,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知邊長為1的正方形ABCD中, P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、C不重合),過點(diǎn)P作PE⊥PB ,PE交射線DC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥AC,垂足為點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)(如圖),
①求證:PB=PE;
②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,PF的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個(gè)不變的值,若變化,試說明理由;
(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí),在備用圖上畫出符合要求的大致圖形,并判斷上述(1)中的結(jié)論是否仍然成立(只需寫出結(jié)論,不需要證明);
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,△PEC能否為等腰三角形?如果能,試求出AP的長,如果不能,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)展校園足球運(yùn)動(dòng),某縣城區(qū)四校決定聯(lián)合購買一批足球運(yùn)動(dòng)裝備,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):甲、乙兩商場以同樣的價(jià)格出售同種品牌的足球隊(duì)服和足球,已知每套隊(duì)服比每個(gè)足球多50元,兩套隊(duì)服與三個(gè)足球的費(fèi)用相等,經(jīng)洽談,甲商場優(yōu)惠方案是:每購買十套隊(duì)服,送一個(gè)足球;乙商場優(yōu)惠方案是:若購買隊(duì)服超過80套,則購買足球打八折.
(1)求每套隊(duì)服和每個(gè)足球的價(jià)格是多少?
(2)若城區(qū)四校聯(lián)合購買100套隊(duì)服和a個(gè)足球,請(qǐng)用含a的式子分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所花的費(fèi)用;
(3)假如你是本次購買任務(wù)的負(fù)責(zé)人,你認(rèn)為到哪家商場購買比較合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是由相同的花盆按一定的規(guī)律組成的形如正多邊形的圖案,其中第1個(gè)圖形共有6個(gè)花盆,第2個(gè)圖形一共有12個(gè)花盆,第3個(gè)圖形一共有20個(gè)花盆,…,則第10個(gè)圖形中花盆的個(gè)數(shù)為( 。
A. 110B. 120C. 132D. 140
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象,圖1是產(chǎn)品日銷售量y(單位:件)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,圖2是一件產(chǎn)品的銷售利潤z(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 第24天的銷售量為200件 B. 第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元
C. 第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等 D. 第30天的日銷售利潤是750元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD中,E、F分別是AD,BC的中點(diǎn).求證:(1)△AFB≌△CED;(2)四邊形AECF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:已知線段a、b
(1)求作一個(gè)等腰△ABC,使底邊長BC=a,底邊上的高為b.(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡)
(2)小明由此想到一個(gè)命題:等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等,請(qǐng)你判斷這個(gè)命題的真假,如果是真命題請(qǐng)證明;如果是假命題請(qǐng)舉出反例.
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