Question

【題目】如圖，⊙O中，F(xiàn)G、AC是直徑，AB是弦，F(xiàn)G⊥AB，垂足為點(diǎn)P，過點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知AB=4，⊙O的半徑為 ．
（1）分別求出線段AP、CB的長(zhǎng)；
（2）如果OE=5，求證：DE是⊙O的切線；
（3）如果tan∠E= ，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC為直徑，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2 ，AB=4，

∴BC= =2，

∵直徑FG⊥AB，

∴AP=BP= AB=2

（2）證明∵AP=BP，AO=OC

∴OP為△ABC的中位線，

∴OP= BC=1，

∴ = ，

而 = = ，

∴ = ，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB= = ，

∴BD=3，

∴CD= = ，

∵BC∥EP，

∴ = ，即 = ，

∴DE=

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理由AC為直徑得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出BC=2，再根據(jù)垂徑定理由直徑FG⊥AB得到AP=BP= AB=2；（2）易得OP為△ABC的中位線，則OP= BC=1，再計(jì)算出 = = ，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)由BC∥EP得到∠DCB=∠E，則tan∠DCB=tan∠E= ，在Rt△BCD中，根據(jù)正切的定義計(jì)算出BD=3，根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD= ，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得 = ，再利用比例性質(zhì)可計(jì)算出DE= ．