Question

 如圖，已知拋物線y=ax²-2ax-b（a>0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的右側(cè)，且點B的坐標(biāo)為(-1，0)，與y軸的負(fù)半軸交于點C，頂點為D．連接AC、CD，∠ACD=90°．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B、A、F、E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過點B（，0），

∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴

令y=0，則x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，

令x=0，則y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a

∵D為拋物線的頂點，∴D（1，4a）

過點D作DM⊥y軸于點M，則∠AOC=∠CMD=90°，

又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°

∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，

∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a

∴，∴，∵a>0，∴a=1

∴拋物線的解析式為：

（2）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，則BA∥EF，并且EF= BA =4
由于對稱軸為直線x=1，∴點E的橫坐標(biāo)為1,∴點F的橫坐標(biāo)為5或者3
將x=5代入得y=12，∴F（5，12）．將x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．
當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，點F即為點D， ∴F（1，4）．
綜上所述，點F的坐標(biāo)為（5，12），（3，12）或（1，4）．