Question

【題目】已知∠MCN＝45°，點(diǎn)B在射線(xiàn)CM上，點(diǎn)A是射線(xiàn)CN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．點(diǎn)B關(guān)于CN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AB、AD和CD，點(diǎn)F在直線(xiàn)BC上，且滿(mǎn)足AF⊥AD．小明在探究圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)AF＝AB：始終成立．

如圖，當(dāng)0°＜∠BAC＜90°時(shí)．

① 求證：AF＝AB；

② 用等式表示線(xiàn)段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

當(dāng)90°＜∠BAC＜135°時(shí)，直接用等式表示線(xiàn)段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系是 ．

Answer 1

【答案】①證明過(guò)程見(jiàn)解析，②CD+CF＝AC，過(guò)程見(jiàn)解析； ．

【解析】

①過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，作AH⊥CD于H，判斷出四邊形AGCH是矩形，得出∠GAH=90°，得出∠FAG=∠DAH，進(jìn)而判斷出△FAG≌△DAH，即可得出結(jié)論； ②由矩形AGCH是正方形，判斷出CH=CG，∠CAH=∠DCA=45°，由①知，△AGF≌△AHD，得出FG=DH，即CH=，再根據(jù)勾股定理得，AC= CH，即可得出結(jié)論；

同（1）的方法判斷出△AHD≌AGF，得出DH=FG，進(jìn)而得出CH=，即可得出結(jié)論．

解：（1）①如圖1， ∵點(diǎn)D，B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠ACD=∠MCN=45°，

∴∠DCM=90°，

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，作AH⊥CD于H，

∴AG=AH，∠AGC=∠AHC=∠DCM=90°，

∴四邊形AGCH是矩形，

∴∠GAH=90°，

∵AF⊥AD，

∴∠FAD=90°，

∴∠FAG=∠DAH，

∴△AGF≌△AHD（ASA），

∴AF=AD，

∵AB=AD，

∴AF=AB；

②結(jié)論：CD+CF=AC， 理由：由①知，四邊形AGCH是矩形，AG=AH，

∴矩形AGCH是正方形，

∴CH=CG，∠CAH=∠DCA=45°，

由①知，△AGF≌△AHD，

∴FG=DH，

∴CD+CF=CH+DH+CG-FG=2CH，

∴CH=，

根據(jù)勾股定理得，AC=CH=，

∴CD+CF＝；

（2）結(jié)論：CD-CF=AC， 理由：如備用圖， 同（1）的方法得，△AHD≌AGF，

∴DH=FG，

∴CD-CF=CH+DH-FG+CG=2CH，

∴CH=，

根據(jù)勾股定理得，AC=CH=，

∴CD-CF=AC，

故答案為：CD-CF=AC．