Question

【題目】這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒……按這個方法放滿整個棋盤就行。”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了,結(jié)果國王輸了．

（1）我們知道,國際象棋共有64個格子,則在第64格中應(yīng)放多少米？（用冪表示）

（2）請?zhí)骄康?/span>（1）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少?（簡要寫出探究過程．）

（3）你知道國王輸給了阿基米德多少粒米嗎?為解決這個問題,我們先來看下面的解題過程：

用分?jǐn)?shù)表示無限循環(huán)小數(shù)：．

解：設(shè)①．等式兩邊同時乘以10,得②．

將②①得：,則，∴．

請參照以上解法求出國王輸給阿基米德的米粒數(shù)（用冪的形式表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）8；（3）

【解析】

試題分析：本題屬于信息給予題，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．

（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第n個格子里的米粒數(shù)是2為底數(shù)，n-1作為指數(shù)；

（2）通過計(jì)算可以看出，個位數(shù)是以4項(xiàng)為一組循環(huán)的，用63除以4，余數(shù)是幾就與第幾項(xiàng)的個位數(shù)相同； （3）利用信息，這列數(shù)都乘以2，再相減即可求出．

試題解析：

（1）第64個格子，應(yīng)該底數(shù)是2，指數(shù)63，所以為263；

（2）∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32… ,

∵63÷4=15…3，

∴263的末位數(shù)字與23的末位數(shù)字相同，是8；

（3）設(shè)x=1+2+22+…+263①．

等式兩邊同時乘以2，得2x=2+22+23+…+264②

②-①，得x=264-1．

答：國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為264-1．