Question

【題目】如圖，將一張邊長為8的正方形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，使得OA與y軸重合，OC與x軸重合，點(diǎn)P為正方形AB邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合)．將正方形紙片折疊，使點(diǎn)O落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交BC于H，折痕為EF．連接OP、OH．

初步探究

（1）當(dāng)AP=4時(shí)

①直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)　　　　；

②求直線EF的函數(shù)表達(dá)式．

深入探究

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)時(shí)，∠APO與∠OPH的度數(shù)總是相等，請說明理由．

拓展應(yīng)用

（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)時(shí)，△PBH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）①(0，5)；②；（2）理由見解析；（3）周長=16，不會發(fā)生變化，證明見解析．

【解析】

（1）①設(shè)：OE＝PE＝a，則AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；

②證明△AOP≌△FRE（AAS），則ER＝AP＝4，故點(diǎn)F（8，1），即可求解；

（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因?yàn)?/span>AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；

（3）證明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），則CH＝QH，即可求解．

（1）①設(shè)：OE=PE=a，則AE=8﹣a，AP=4，

在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，

即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，

故點(diǎn)E(0，5)．

故答案為：(0，5)；

②過點(diǎn)F作FR⊥y軸于點(diǎn)R，

折疊后點(diǎn)O落在P處，則點(diǎn)O、P關(guān)于直線EF對稱，則OP⊥EF，

∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，

∴∠AOP=∠EFR，

而∠OAP=∠FRE，RF=AO，

∴△AOP≌△FRE(AAS)，

∴ER=AP=4，

OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故點(diǎn)F(8，1)，

將點(diǎn)E、F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b

得：，解得：，

故直線EF的表達(dá)式為：y=﹣x+5；

（2）∵PE=OE，

∴∠EOP=∠EPO．

又∵∠EPH=∠EOC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．

即∠POC=∠OPH．

又∵AB∥OC，

∴∠APO=∠POC，

∴∠APO=∠OPH；

（3）如圖，過O作OQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APO=∠OPH，

在△AOP和△QOP中，

∴△AOP≌△QOP(AAS)，

∴AP=QP，AO=OQ．

又∵AO=OC，

∴OC=OQ．

又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，

∴△OCH≌△OQH(SAS)，

∴CH=QH，

∴△PHB的周長=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．

故答案為：16．