Question

【題目】如圖，直線y=-2x+6與x軸交于點(diǎn)A，與直線y=x交于點(diǎn)B.

(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為_____________.

(2)動點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著O→A的路線向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動，過點(diǎn)M作MP⊥x軸交直線y=x于點(diǎn)P，然后以MP為直角邊向右作等腰直角△MPN.設(shè)運(yùn)動t秒時(shí)，ΔMPN與ΔOAB重疊部分的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)(3，0)；(2)

【解析】

（1）將y=0代入y=-2x+6可得x=3，即可得出點(diǎn)A坐標(biāo)；

（2）分點(diǎn)N在直線AB左側(cè)時(shí)，點(diǎn)N在直線AB右側(cè)且P在直線AB左側(cè)時(shí)，以及點(diǎn)P在直線AB右側(cè)三種情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)重疊部分的形狀，分別用含t的式子表示出三角形的底邊和高，從而得到重疊部分的面積.

(1) 將y=0代入y=-2x+6可得x=3，

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）

故答案為：（3，0）

(2)如圖一，

由得

∴B(2，2)

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H

∴BH=OH=2，∠AOB=45°

∵PM⊥x軸

∴OM=MP=t

∵等腰直角ΔMPN

∴PN∥x軸

∴∠N=∠NMA=45°

∴∠AOB=∠NMA=45°

∴MN∥OB

∴設(shè)直線MN為y=x+b

∵OM=t

∴y=x-t

當(dāng)點(diǎn)N在直線y=-2x+6上時(shí)，OM=PM=PN=t,

∴N(2t,t)

∴t=-2×2t+6，解得：t=

∴當(dāng)時(shí)，

如圖二，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=-2x+6上時(shí)，OM=PM=t,

可得t=-2t+6，解得：t=2

當(dāng)時(shí)，PN與AB交于點(diǎn)E，MN與AB交于點(diǎn)F，

∵P(t，t)

∴t=-2x+6

∴

∴

∴

∴

∵OA=3

∴MA=3-t

由

得F(2+t，2-t)

過點(diǎn)F作△ENF的高GF, △FMA的高HF

∴HF=2-t

∴

∴

∴；

如圖三，當(dāng)M與A重合時(shí)，t=3

故當(dāng)時(shí),PM與AB交于點(diǎn)E，MN與AB交于點(diǎn)F，有E(t, -2t+6)，F(2+t，2-t)，

∴,

∴;

綜上所述，.