Question

設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9（2a+b）²=509（4a+511b）（1）
求a，b的值．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,數(shù)的整除性

專題：轉(zhuǎn)化思想

分析：首先將9（2a+b）²=509（4a+511b）變形為

4a+511b

509

=

4a+511b

509

，此時假設(shè)m=

6a+3b

509

，n=

4a+511b

509

，則可得到b=

509m-6a

3

=

509n-4a

511

與n=m²．因而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程3m²-511m+6a=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得m的取值進而討論a、b的取值．

解答：解：①式即(

6a+3b

509

)2=

4a+511b

509

，
故設(shè)m=

6a+3b

509

，n=

4a+511b

509

，則b=

509m-6a

3

=

509n-4a

511

②
∴3n-511m+6a=0，又n=m²，所以3m²-511m+6a=0                  ③
由①式可知，（2a+b）²能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是2a+b能被509整除，故m為整數(shù)，即關(guān)于m的一元二次方程③有整數(shù)根，所以它的判別式△=511²-72a為完全平方數(shù)． （10分）
不妨設(shè)△=511²-72a=t²（t為自然數(shù)），則72a=511²-t²=（511+t）（511-t）．
由于511+t和511-t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下幾種情況：
①

511+t=36a 511-t=2

兩式相加，得36a+2=1022，沒有整數(shù)解．
②

511+t=18a 511-t=4

兩式相加，得18a+4=1022，沒有整數(shù)解．
③

511+t=12a 511-t=6

兩式相加，得12a+6=1022，沒有整數(shù)解．
④

511+t=6a 511-t=12

兩式相加，得6a+12=1022，沒有整數(shù)解．
⑤

511+t=4a 511-t=18

兩式相加，得4a+18=1022，解得a=251．
⑥

511+t=2a 511-t=36

兩式相加，得2a+36=1022，解得a=493，而493=17×29不是質(zhì)數(shù)，故舍去．
綜合可知a=251． （20分）
此時方程③的解為m=3或m=

502

3

（舍去）．
把a=251，m=3代入②式，得b=

509×3-6×251

3

=7．
答：a=251，b=7．

點評：本題考查一元二次方程整數(shù)根與有理根、數(shù)的整除性問題．解決本題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解決．