Question

將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.。
（1）當(dāng)α=30°時(shí)（如圖②），求證：AG=DH；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)(如圖③)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由。

Answer 1

證明：（1）∵∠A=∠ADM=30°
∴ AM=DM
∵∠BDC=90°-∠ADM=60°=∠B
∴ CD=CB
∵M(jìn)G⊥AD，NH⊥DB
∴AG=，DH=
∵D是AB的中點(diǎn)
∴AD=DB
∴AG=DH
（2）結(jié)論成立
∵∠ADM=60°
∴∠BDN=30°
在△AMD和△DNB中
∵∠ADM=∠B，AD=DB，∠A=∠BDN
∴△AMD≌△DNB
∴AM=DN
∵ MG⊥AD，NH⊥DB
∴∠AGM=∠DHN=90°
∴△AGM≌△DHN
∴AG=DH