Question

已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB中點，將Rt△DEF繞著點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H．
（1）猜想：在旋轉過程中，AG與DH的數(shù)量關系是：

相等

；
（2）就旋轉角α的情況，請選擇圖②、③、④中的一種情況，對你的猜想進行證明．
友情提示：若選擇圖②（即α=30°時），滿分為8分；若選擇圖③（即α=60°時），滿分為10分；選擇圖④（即任意情況0°＜α＜90°時）．

Answer 1

分析：（1）相等，根據(jù)等腰三角形的性質推出DH=

1

2

BD，AG=

1

2

AD即可；
（2）求出∠AMD=90°=∠CMD，得出矩形CMDN，推出∠DNB=90°，根據(jù)直角推出∠MDA=∠B，∠A=∠NDB，根據(jù)AAS證△ADM和△DBN全等，推出AM=DN，根據(jù)AAS證△AGM和△DHN全等即可．

解答：解：（1）AG和DH的數(shù)量關系是相等，
理由是：如圖2，∵∠ACB=90°，∠A=30°，D為AB中點，
∴∠B=60°，CD=BD=AD，
∴△CDB是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，CD=BD=BC，
∵CH⊥AB，
∴DH=BH=

1

2

DB，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDA+∠CDB=90°，
∴∠MDA=90°-60°=30°=∠A，
∴AM=MD，
∵MG⊥AD，
∴AG=GD=

1

2

AD，
∵AD=BD，
∴AG=DH．

故答案為：相等．

（2）結論是AG=DH，
證明：選圖3，
∵∠A=30°，∠EDA=α=60°，
∴∠AMD=90°=∠CMD，
∵∠C=∠EDF=90°，
∴四邊形CMDN是矩形，
∴∠CND=90°=∠DNB，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°=∠EDA，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDB=180°-90°-60°=30°=∠A，
在△AMD和△DNB中

∠A=∠NDB ∠MDA=∠B AD=BD

，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN，
∵MG⊥AB，NH⊥AB，
∴∠MGA=∠NHD=90°，
在△AGM和△DHN中

∠A=∠NDH ∠MGA=∠NHD AM=DN

，
∴△AGM≌△DHN，
∴AG=DH．
選④
證明：∵在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
∵∠AGM=∠BHN=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴

AG

NH

=

MG

BH

①，
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴△MGD∽△DHN，
∴

DH

MG

=

NH

DG

②，
①×②得：

MG

BH

•

DH

MG

=

AG

NH

•

NH

DG

，

DH

BH

=

AG

DG

，

DG

AG

=

BH

DH

，
∴由比例性質得：

DG+AG

AG

=

BH+DH

DH

，
即

AD

AG

=

BD

DH

，
∵AD=BD，
∴AG=DH．

點評：本題綜合考查了全等三角形的性質和判定的運用，解此題的關鍵是找出兩個全等的三角形，根據(jù)三角形全等的性質推出結論．題型較好，有一定的規(guī)律性．