Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，，過點C作直線l∥AB，F是l上的一點，且AB＝AF，則點F到直線BC的距離為        ．

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】當(dāng)F、B在AC的同側(cè)時。

　　分別過C、F作AB的垂線，垂足分別為D、E。再過F作FH⊥BC交BC于H。

　　∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°，　∴AC＝BC＝1，　∴AB＝。

　　∵AC⊥BC、CD⊥AB，　∴AD＝BD，　∴CD＝AD＝AB/2＝、∠ABC＝45°。

∵CF∥AB、CD⊥AB、FE⊥AB，　∴FE＝CD＝，又AF＝AB＝，　∴FE＝AF/2。

　　由FE＝AF/2、FE⊥AE，得：∠FAE＝30°，　∴AE＝√3FE＝。

　　∵CF∥DE、CD⊥DE、FE⊥DE，　∴CDEF是矩形，

　　∴CF＝DE＝AE－AD＝－。

∵CF∥DB，　∴∠FCB＝∠ABC＝45°。

　　∵∠FCH＝45°、FH⊥CH，　∴FH＝CF/√2＝（－）/＝。

　　∴此時F到BC的距離為 。

、當(dāng)F、B在AC的兩側(cè)時。

　　過A作AM⊥FC交FC于M，再過F作FN⊥BC交BC的延長線于N。

　　∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°，　∴∠BAC＝45°。

　　∵FC∥AB，　∴∠ACM＝∠BAC＝45°，又AM⊥CM，　∴CM＝AM＝AC/＝1/。

　　∵AF＝AB＝、AM＝1/＝、AM⊥FM，　∴∠AFM＝30°，

∴FM＝AM＝，　∴CF＝FM＋CM＝＋。

　　顯然有：∠FCN＝180°－∠ACB－∠ACM＝180°－90°－45°＝45°，又FN⊥CN，

　　∴FN＝CF/＝（＋）/＝。

　　∴此時F到BC的距離為 。

綜上所述，得：F到BC的距離是 ，或