Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B ， C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， ，CD⊥y軸于點(diǎn)D ， 直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作CE⊥直線l于點(diǎn)E ， 將直線CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交直線l于點(diǎn)F ， 連接BF.
①依題意補(bǔ)全圖形；
②通過(guò)觀察、測(cè)量，同學(xué)們得到了關(guān)于直線BF與直線l的位置關(guān)系的猜想，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想；
③通過(guò)思考、討論，同學(xué)們形成了證明該猜想的幾種思路：
思路1：作CM⊥CF ， 交直線l于點(diǎn)M ， 可證△CBF≌△CDM ， 進(jìn)而可以得出 ，從而證明結(jié)論.
思路2：作BN⊥CE ， 交直線CE于點(diǎn)N ， 可證△BCN≌△CDE ， 進(jìn)而證明四邊形BFEN為矩形，從而證明結(jié)論.
……
請(qǐng)你參考上面的思路完成證明過(guò)程.（一種方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：

（2）

解：①補(bǔ)全圖形見(jiàn)圖7.

②BF⊥直線l.

③法1：

證明：如圖8，作CM⊥CF，交直線l于點(diǎn)M．

∵ ， ， ，

∴ ， ．

∵ CE⊥直線l，CM⊥CF， ，

可得△CEF，△CEM 為等腰直角三角形， ，

CF=CM ①

∵ ， ，

∴ ∠BCF=∠DCM ②

又∵CB=CD， ③

∴ △CBF≌△CDM．

∴

∴ ．

∴ BF⊥直線l．

法2：

證明：如圖9，作BN⊥CE，交直線CE于點(diǎn)N．

∵ ， ， ，

∴ ， ．

∵ CE⊥直線l， BN⊥CE，

∴ ∠BNC=∠CED=90° ①

∴ ， ．

∴ ∠1=∠2 ． ②

又∵CB=CD， ③

∴ △BCN≌△CDE．

∴ BN= CE．

又∵ ，

可得△CEF為等腰直角三角形，EF = CE．

∴ BN= EF．

又∵ ，

∴ BN∥FE．

∴ 四邊形BFEN為平行四邊形．

又∵ ，

∴ 平行四邊形BFEN為矩形．

∴ ．

∴ BF⊥直線l

【解析】（1）由圖可以直接得出D點(diǎn)坐標(biāo).
（2）③法1：如圖8，作CM⊥CF ， 交直線l于點(diǎn)M ．
由 B(4,0) ， C(4,4) ， D(0,4) ，可得△CEF，△CEM 為等腰直角三角形， 由等腰三角形性質(zhì)和已知條件證△CBF≌△CDM．由全等三角形的性質(zhì)
BF⊥直線l．
【考點(diǎn)精析】利用等腰直角三角形和余角和補(bǔ)角的特征對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān)．