Question

【題目】點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，BD上，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF，∠FAE＝∠FAD，F(xiàn)E＝FD．

（1）如圖1，若∠AEF＝∠ADF，求證：AE＝AD；

（2）如圖2，若∠AEF≠∠ADF，F(xiàn)B平分∠ABC，求∠BAC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周長(zhǎng)為20，求BC長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）;（3）.

【解析】

（1）證明△AEF≌△ADF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)F分別作AB，BC，AC邊上的高，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到FP=FQ，FP=FN，根據(jù)角平分線的判定定理得到CF平分∠ACB，證明Rt△PEF≌Rt△NDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PEF=∠FDN，計(jì)算得到答案；
（3）在BC上取點(diǎn)R，使CR=CA，分別證明△CAF≌△CRF、△BGF≌△BRF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

（1）∵，，.

∴，∴.

（2）過(guò)點(diǎn)分別作，，邊上的高，，，，點(diǎn)，，為垂足.

∵，分別平分和，∴，，

∴，且，，∴平分.

∴.

∵，

∴

.

∵，∴，∴，∴，

∴.

∴且，

∴.

（3）在上取點(diǎn)，使，

∵，，∴.

∴，.

∵，∴，

∴，

∵，

∴，.

∴.

∵，，∴.

∴.

∵，

∴.