【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D在AB上,以AD為直徑的⊙O與BC相交于點E,與AC相交于點F,AE平分∠BAC.
(1)求證:BC是⊙O的切線.
(2)若∠EAB=30°,OD=3,求圖中陰影部分的面積.
(3)若AD=5,AE=4,求AF.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)
【解析】
(1)如圖,連結(jié)OE,由角平分線的定義可得∠CAE=∠EAD,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠EAD=∠OEA,即可證明∠OEA=∠CAE,可得OE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OEB=∠C=90°,即可證明BC是⊙O的切線;(2)由角平分線的定義可得∠EOD=60°,即可得出∠B=30°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出OB的長,利用勾股定理求出BE的長,根據(jù)S陰影=S△OEB-S扇形OED即可得答案;(3)如圖,連接DE,EF,由AD是直徑可得∠AED=90°,利用勾股定理可求出DE的長,由∠CAE=∠EAD,∠ACE=∠AED=90°可證明△ACE∽△AED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AC、CE的長,∠ADE=∠AEC,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠CFE=∠ADE,可得∠AEC=∠CFE,即可證明△CEF∽△CAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CF的長,根據(jù)AF=AC-CF可得答案.
(1)如圖,連接OE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠EAD,
∵OA=OE,
∴∠EAD=∠OEA,
∴∠OEA=∠CAE,
∴OE∥AC,
∴∠OEB=∠C=90°,
∴OE⊥BC,
∴BC是⊙O的切線.
(2)解:∵∠EAB=30°,AE平分∠BAC,
∴∠EOD=60°,
∴∠OEB=90°,
∴∠B=30°,
∴OB=2OE=2OD=6,
∴,
∴
,
∴.
(3)如圖,連接DE,EF,
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
∴,
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠EAD,
又∵∠ACE=∠AED=90°,
∴△ACE∽△AED,
∴,∠ADE=∠AEC,
∴,
∵四邊形AFED為圓內(nèi)接四邊形,
∴∠AFE+∠ADE=180°,
∵∠CFE+∠AFE=180°,
∴∠CFE=∠ADE,
∴∠AEC=∠CFE,
∵∠FCE=∠ACE,
∴△CEF∽△CAE,
∴,
∴,
∴AF=AC﹣CF=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于給定的圖形G和點P,若點P可通過一次向上或向右平移n(n>0)個單位至圖形G上某點P′,則稱點P為圖形G的“可達點”,特別地,當(dāng)點P在圖形G上時,點P為圖形G的“可達點”.
(1)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點A(1,1),B(2,1),
①在點O、A、B中,不是直線y=﹣x+2的“可達點”的是 ;
②若點A是直線l的“可達點”且點A不在直線l上,寫出一條滿足要求的直線l的表達式: ;
③若點A、B中有且僅有一點是直線y=kx+2的“可達點”,則k的取值范圍是 .
(2)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,⊙O的半徑為1,直線l:y=﹣x+b.
①當(dāng)b=﹣2時,若直線m上一點N(xN,yN)滿足N是⊙O的“可達點”,直接寫出xN的取值范圍 ;
②若直線m上所有的⊙O的“可達點”構(gòu)成一條長度不為0的線段,直接寫出b的取值范圍 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在歌唱比賽中,一位歌手分別轉(zhuǎn)動如下的兩個轉(zhuǎn)盤(每個轉(zhuǎn)盤都被分成3等份)一次,根據(jù)指針指向的歌曲名演唱兩首曲目.
(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤①時,該轉(zhuǎn)盤指針指向歌曲“3”的概率是 ;
(2)若允許該歌手替換他最不擅長的歌曲“3”,即指針指向歌曲“3”時,該歌手就選擇自己最擅長的歌曲“1”, 請用樹形圖或列表法中的一種,求他演唱歌曲“1”和“4”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點坐標為(1,n),拋物線與x軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論
①a-b+c>0;②3a+b=0;
③b2=4a(c-n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在路燈下,小明的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段AC所示,小亮的身高如圖中線段FG所示,路燈燈泡在線段DE上.
(1)請你確定燈泡所在的位置,并畫出小亮在燈光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子長AC=1.4m,且他到路燈的距離AD=2.1m,求燈泡的高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了準備科技節(jié)創(chuàng)意銷售,宏帆初2018級某同學(xué)到批發(fā)市場購買了一些甲、乙兩種型號的小元件,甲型小元件的單價是6元,乙型小元件的單價是3元,該同學(xué)的創(chuàng)意作品每件需要的乙型小元件的個數(shù)是甲型小元件的個數(shù)的2倍,同時,為了控制成本,該同學(xué)購買小元件的總費用不超過480元.
(1)該同學(xué)最多可購買多少個甲型小元件?
(2)在該同學(xué)購買甲型小元件最多的前提下,用所購買的甲、乙兩種型號的小元件全部制作成創(chuàng)意作品,在制作中其他費用共花520元,銷售當(dāng)天,該同學(xué)在成本價(購買小元件的費用+其他費用)的基礎(chǔ)上每件提高2a%(10<a<50)標價,但無人問津,于是該同學(xué)在標價的基礎(chǔ)上降低a%出售,最終,在活動結(jié)束時作品全部賣完,這樣,該同學(xué)在本次活動中賺了a%,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,E、F分別是AB、DC邊上的點,且AE=CF,
(1)求證:≌.
(2)若DEB=90,求證四邊形DEBF是矩形.
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