Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若點(diǎn)C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，求拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，點(diǎn)P（不與A、C重合）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BPM是等腰直角三角形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c與y軸交于B點(diǎn)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)OA=OB，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，整理后即可求出b+c的值；
（2）若四邊形OABC是平行四邊形，則CO∥AB，BC∥AO，用c表示出C點(diǎn)的坐標(biāo)，把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求出b和c的關(guān)系，結(jié)合（1）問，求出b和c的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式；
（3）△BPM是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+

1

2

x+

1

2

），由BM=PM，列出關(guān)于x的一元二次方程，求出x的值，即可求出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與y軸正半軸交于B點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，c），
∵OA=OB，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-c，0），將點(diǎn)A（-c，0）代入y=y=-x²+bx+c，得-c2-bc+c=0，
∵c≠0，整理得b+c=1；

（2）如圖，如果四邊形OABC是平行四邊形，那么CO∥AB，BC∥AO，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為（c，c），
當(dāng)點(diǎn)C（c，c）落在拋物線y=-x²+bx+c上時，得-c²+bc+c=c，
整理得b=c，
結(jié)合（1）問c+b=1，得b=c=

1

2

，
故此時拋物線的解析式為y=-x²+

1

2

x+

1

2

；

（3）△BPM是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+

1

2

x+

1

2

），
由BM=PM，列方程

1

2

-（-x²+

1

2

x+

1

2

）=x，解得x=

3

2

或x=0（舍去），
所以當(dāng)x=

3

2

時，y=-(

3

2

)2+

1

2

×

3

2

+

1

2

=-1，
點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（0，-1），
同理當(dāng)BP=PM時，求出M₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-

5

2

），
綜上點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-

5

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是求出b和c的兩個關(guān)系式，此題難度不大，特別是第三問的解答需要分類討論，需要同學(xué)們答題的時候注意．