Question

（2008•廈門）已知：拋物線y=x²+（b-1）x+c經過點P（-1，-2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求這條拋物線的頂點坐標；
（3）若b＞3，過點P作直線PA⊥y軸，交y軸于點A，交拋物線于另一點B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應的二次函數關系式．（提示：請畫示意圖思考）

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線y=x²+（b-1）x+c經過點P（-1，-2b），所以將點P代入解析式即可求得；
（2）因為b=3，所以求得c的值，即可求得拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點坐標；
（3）解此題的關鍵是首先確定函數的草圖，即開口方向是向上，對稱軸為x=，在y軸的左側，根據題意確定點B的坐標；因為點P與點B關于對稱軸對稱，所以確定對稱軸方程，從而求得b、c的值，求得函數解析式．
解答：解：（1）依題意得：（-1）²+（b-1）（-1）+c=-2b （2分）
∴b+c=-2．（3分）

（2）當b=3時，c=-5，（4分）
∴y=x²+2x-5=（x+1）²-6，
∴拋物線的頂點坐標是（-1，-6）．（6分）

（3）當b＞3時，拋物線對稱軸x=
∴對稱軸在點P的左側
因為拋物線是軸對稱圖形，P（-1，-2b）且BP=2PA
∴B（-3，-2b） （9分）
∴=-2，
∴b=5 （10分）
又b+c=-2，
∴c=-7 （11分）
∴拋物線所對應的二次函數關系式為y=x²+4x-7． （12分）
解法2：（3）
當b＞3時，-b＜-3，1-b＜-2，則x=-=＜-1，
∴對稱軸在點P的左側，因為拋物線是軸對稱圖形
∵P（-1，-2b），且BP=2PA，
∴B（-3，-2b） （9分）
∴（-3）²-3（b-1）+c=-2b（10分）
又b+c=-2，
解得b=5，c=-7（11分）
這條拋物對應的二次函數關系式為y=x²+4x-7．（12分）
解法3：（3）∵b+c=-2，
∴c=-b-2
∴y=x²+（b-1）x-b-2（ 7分）
BP∥x軸，
∴x²+（b-1）x-b-2=-2b（ 8分）
即x²+（b-1）x+b-2=0
解得：x₁=-1，x₂=-（b-2），即x_B=-（b-2）10分
由BP=2PA，
∴-1+（b-2）=2×1
∴b=5，c=-7  （11分）
∴拋物線所對應的二次函數關系式為y=x²+4x-7．（12分）
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，考查了二次函數的對稱性，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．