Question

【題目】已知：如圖，直線y=-x+b與拋物線y=-x2+4x+c交于P、Q兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2），

①求c的值；

②求Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若 P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n，且0<m<n．分別過(guò)點(diǎn)P、Q作PA、QB垂直于x軸，垂足分別為點(diǎn)A、B．當(dāng)△AOP≌△BQO時(shí)．

①求m+n的值；

②求證：

Answer 1

【答案】(1)①c=-1；②（4，-1）；(2)①m+n=5；②證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）將P（1，2）代入即可解題,（2）根據(jù)全等得P（m,n）,Q(n,m),聯(lián)立方程即可求解,再利用根的判別式即可判定c的取值范圍.

解：（1）將P（1，2）代入y=-x2+4x+c中得c=-1, 將P（1，2）代入y=-x+b中得b=3,

∴直線為y=-x+3,拋物線為y=-x2+4x-1,

聯(lián)立方程組 解得： 或,

∴Q（4，-1）；

（2）①如下圖,∵△AOP≌△BQO,

∴OA=BQ,AP=OB,即P（m,n）,Q(n,m),

∵P,Q兩點(diǎn)都在函數(shù)y=-x2+4x-1上,即,

（2）-（1）得m+n=5,

②∵m=5-n,將m代入方程中得n2-5n+5-c=0,

∴△0,解得c,當(dāng)c時(shí)P,Q重合,直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),

∴