如圖,對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點A(-6,0)和點B(0,4).
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)設點E(x,y)是拋物線上的一個動點,且位于第三象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求?OEAF的面積S與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當?OEAF的面積為24時,請判斷?OEAF是否為菱形?
②是否存在點E,使?OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.•

【答案】分析:(1)根據(jù)對稱軸設拋物線的解析式為y=a(x+2+k,將A、B兩點坐標代入,列方程組求a、k的值;
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知S=2S△OAE,△OAE的底為AO,高為E點縱坐標的絕對值,由此列出函數(shù)關系式,①當S=24時,由函數(shù)關系式得出方程,求x的值,再逐一判斷;②不存在,只有當0E⊥AE且OE=AE時,□OEAF是正方形,由此求出E點坐標,判斷E點坐標是否在拋物線上.
解答:解:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+2+k(k≠0),
則依題意得:a+k=0,a+k=4
解之得:a=,
k=-
即:y=(x+2-,頂點坐標為(-,-);

(2)∵點E(x,y)在拋物線上,且位于第三象限.
∴S=2S△OAE=2××0A×(-y)
=-6y
=-4(x+2+25  (-6<x<-1);
①當S=24時,即-4(x+2+25=24,
解之得:x1=-3,x2=-4
∴點E為(-3,-4)或(-4,-4)
當點E為(-3,-4)時,滿足OE=AE,故□OEAF是菱形;
當點E為(-4,-4)時,不滿足OE=AE,故□OEAF不是菱形.
②不存在.
當0E⊥AE且OE=AE時,□OEAF是正方形,此時點E的坐標為(-3,-3),
而點E不在拋物線上,故不存在點E,使□OEAF為正方形.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示面積,由特殊平行四邊形的性質(zhì)確定E點坐標,判斷E點坐標是否在拋物線上,確定存在性.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•莒南縣二模)如圖,對稱軸為直線x=-
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的拋物線經(jīng)過點A(-6,0)和點B(0,4).
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)設點E(x,y)是拋物線上的一個動點,且位于第三象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求?OEAF的面積S與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當?OEAF的面積為24時,請判斷?OEAF是否為菱形?
②是否存在點E,使?OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.•

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,對稱軸為直線x=-2的拋物線經(jīng)過A(-3,0)和B(0,-3).
(1)求拋物線解析式;
(2)設點D(m,n)是拋物線上一動點,且位于第二象限,四邊形ODAE是以OA為對角線的平行四邊形.
①當四邊形ODAE的面積為
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時,請判斷四邊形ODAE是否為菱形?并說明理由;
②當點E也剛好落在拋物線上時.求m的值;
(3)設拋物線與x軸另一交點為C,拋物線上是否存在點P,使得△PBC為直角三角形?若存在,直接寫出點P坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,對稱軸為直線x=
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的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點D的坐標;
(2)設點E(x,y)是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動點,將△OAE繞OA的中點旋轉180°,點E落到點F的位置.求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當四邊形OEAF的面積為24時,請判斷四邊形OEAF的形狀.
②是否存在點E,使四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)若點P是x軸上一點,以P、A、D為頂點作平行四邊形,該平行四邊形的另一頂點在y軸上,請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,對稱軸為直線x=
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的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點坐標;
(2)設點E(x,y)是拋物線第四象限上一動點,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求?OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并求出自變量的取值范圍;
(3)若S=24,試判斷?OEAF是否為菱形;
(4)若點E在(1)中的拋物線上,點F在對稱軸上,以O、E、A、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,求出點E、F的坐標;若不能,請說明理由.(第(4)問不寫解答過程,只寫結論)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知如圖,對稱軸為直線x=4的拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點B、O.
(1)求拋物線的解析式.
(2)連接AB,平移AB所在的直線,使其經(jīng)過原點O,得到直線l.點P是l上一動點,當△PAB的周長最小時,求點P的坐標.
(3)當△PAB的周長最小時,在直線AB的上方是否存在一點Q,使以A,B,Q為頂點的三角形與△POB相似?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.(規(guī)定:點Q的對應頂點不為點O)

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