Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2+bx與直線y=2x交于點(diǎn)O（0，0），A（a，12）．點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C，E．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，求BC的長；
（3）以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），求出m，n之間的關(guān)系式．
（4）將射線OA繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°并與拋物線交于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（a，12）在直線y=2x上，

∴12=2a，

解得：a=6，

又∵點(diǎn)A是拋物線y= x2+bx上的一點(diǎn)，

將點(diǎn)A（6，12）代入y= x2+bx，可得b=﹣1，

∴拋物線解析式為y= x2﹣x

（2）

解：∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6），

把y=6代入y= x2﹣x，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ （舍去），

故BC=1+ ﹣3= ﹣2

（3）

解：∵直線OA的解析式為：y=2x，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ n，n），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2m），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ n，2m），

把點(diǎn)B（ n，2m）代入y= x2﹣x，可得m= n2﹣ n，

∴m、n之間的關(guān)系式為m= n2﹣ n

（4）

解：過點(diǎn)P作DO的垂線，垂足為H，

∵∠POH=45°，

∴△POH為等腰直角三角形，點(diǎn)P可視為點(diǎn)O繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成，

∵點(diǎn)H在直線OA上，設(shè)H（t，2t），O（0，0），

將H點(diǎn)平移至原點(diǎn)，H′（0，0），則O（﹣t，﹣2t），

將O′點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則P′（﹣2t，t），

將H′平移至H點(diǎn)，則P′平移后即為P（﹣t，3t），

∵P點(diǎn)在拋物線上，

∴3t= t2+t，解得：t1=0（舍），t2=4，

∴P1（﹣4，12），

∵OP1⊥OP2，∴KOP1×KOP2=﹣1，

∵KOP1=﹣3，∴KOP2= ，

∴l(xiāng)OP1：y= x，

∵ ，

∴x1=0，x2= ，

∴P2（ ， ）．

【解析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，繼而將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b的值，繼而得出拋物線解析式；（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，繼而可求出BC的長度；（3）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出m，n之間的關(guān)系式．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．