Question

【題目】如下圖。
（1）問題 如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°．求證： ．
（2）探究 如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．
（3）應(yīng)用 請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題
如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠CPD=∠A．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴

（2）解：結(jié)論 仍然成立．

理由：如圖2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

∴△ADP∽△BPC，

∴

（3）解：如圖3，

過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．

∵AD=BD=5，AB=6，

∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=4，

∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∴∠DPC=∠A=∠B．

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△APD∽△BCP，

∴ ，

∴ADBC=APBP；

∴5×1=t（6﹣t），

解得：t1=1，t2=5，

∴t的值為1秒或5秒

【解析】（1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3，根據(jù)勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5﹣4=1．易證∠DPC=∠A=∠B．根據(jù)ADBC=APBP，就可求出t的值．