Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC交拋物線的對稱軸于點E，D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）直接寫出點C和點D的坐標；

（3）若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點坐標．注：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（1，4）；（3）P（2，3）

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b、c的值，進而可得到拋物線的解析式；
（2）C點是拋物線與y軸的交點，令x=0，可得C點坐標，D點是頂點坐標，將函數(shù)解析式配方即得拋物線的頂點D的坐標；
（3）設P（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意列出方程即可求得y，即得P點坐標．

解：（1）由點A（﹣1，0）和點B（3，0）得，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x＝0，則y＝3，

∴C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）設P（x，y）（x＞0，y＞0），

S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4y＝2y，

∵S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×，

∴y＝3，∴﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0（不合題意，舍去），x2＝2，

∴P（2，3）．