【題目】如圖,以點(diǎn)P(﹣1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方),AD=2,將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,得到△MCB.

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)動(dòng)直線l從與BM重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時(shí)停止,設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1B(﹣﹣1,0),C(﹣1,0);

(2)(﹣2,1)

(3)∠MQG的大小不變,始終等于135°,理由見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)連接PA,運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑,從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

2)由于圓P是中心對(duì)稱圖形,顯然射線AP與圓P的交點(diǎn)就是所需畫(huà)的點(diǎn)M,連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過(guò)點(diǎn)MMHBC,垂足為H,易證MHP≌△AOP,從而求出MH、OH的長(zhǎng),進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

3易證點(diǎn)E、M、BG在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,從而得到MQG=2∠MBG.由等腰直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得出PCA=67.5°,從而得到MBG=67.5°,進(jìn)而得到MQG=135°,即MQG的度數(shù)是定值.

試題解析:解:(1)連接PA,如圖1所示.

POAD,AO=DO

AD=2,OA=1

點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣10),OP=1,PA=== ,BP=CP=,OB=+1,OC=1B1,0),C10).

2)連接AP,延長(zhǎng)APP于點(diǎn)M,連接MB、MC

如圖2所示,線段MB、MC即為所求作.

四邊形ACMB是矩形.理由如下:

∵△MCBABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得,四邊形ACMB是平行四邊形.

BCP的直徑,∴∠CAB=90°,平行四邊形ACMB是矩形.

過(guò)點(diǎn)MMHBC,垂足為H,如圖2所示.

MHPAOP中,∵∠MHP=∠AOPHPM=∠OPA,PM=PM,∴△MHP≌△AOPAAS),MH=OA=1,PH=PO=1,OH=2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣2,1).

3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中MQG的大小不變.

四邊形ACMB是矩形,∴∠BMC=90°

EGBO,∴∠BGE=90°∴∠BMC=∠BGE=90°

點(diǎn)QBE的中點(diǎn),QM=QE=QB=QG,點(diǎn)E、MB、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,如圖3所示,∴∠MQG=2∠MBG

OA=OP=1,AOP=90°,∴∠APC=45°,PC=PA∴∠PCA=PAC=180°-45°=67.5°,∴∠MBC=BCA=67.5°∴∠MQG=135°,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中MQG的大小不變,始終等于135°

練習(xí)冊(cè)系列答案
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AD是∠BAC的平分線

ADC60°

點(diǎn)DAB的垂直平分線上

AD2dm,則點(diǎn)DAB的距離是1dm

SDACSDAB12

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