Question

在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x²-（k-1）x+2的圖象與y軸交與點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且S_△OAB=3．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求此二次函數(shù)的解析式；
（3）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由△AOB的面積公式可求得OB的長，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得k的值，確定出拋物線解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且點(diǎn)P在x軸上，故點(diǎn)P的位置有三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)分別求得即可

解答：解：（1）由解析式可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）．
∵S_△OAB=

1

2

×BO×2=3，
∴BO=3．
∴B（3，0）或（-3，0），
∵二次函數(shù)與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）；
綜上所述，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是：（0，2），（-3，0）；

（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)（-3，0）代入y=-x²-（k-1）x+2，
得-（-3）²-（k-1）×（-3）+2=0．
解得k-1=

7

3

．
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²-

7

3

x+2；

（3）當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，需分類討論：

①如圖1，當(dāng)AB=AP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）；
②如圖2，當(dāng)AB=BP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

13

-3，0）或（-

13

+3，0）；
③如圖3，當(dāng)AP=BP時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）根據(jù)題意，得

x2+22

=|x+3|．
解得x=-

5

6

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

6

，0）（10分）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），（

13

-3，0），（-

13

-3，0），（-

5

6

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，注意當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的位置有三種情況．