Question

如圖，某人在一棟高層建筑頂部C處測(cè)得山坡坡腳A處的俯角為60°，又測(cè)得山坡上一棵小樹樹干與坡面交界P處的俯角為45°，已知OA=50米，山坡坡度為（即tan∠PAB=，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一條直線上．
（1）求此高層建筑的高度OC；
（2）求坡腳A處到小樹樹干與坡面交界P處的坡面距離AP的長(zhǎng)度．（人的高度及測(cè)量?jī)x器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAC中，易知∠OAC的度數(shù)，通過(guò)解直角三角形即可得到OC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)P作OC的垂線，設(shè)垂足為M．在Rt△PMC中，易知∠CPM=45°，則CM=PM．可用PB分別表示出CM、PM的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)CM=PM得到關(guān)于PB的等量關(guān)系式，據(jù)此求出PB的長(zhǎng)，然后在Rt△PAB中，根據(jù)勾股定理求得斜坡AP的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）Rt△OAC中，∠OAC=60°，OA=50米，
∴OC=OA•tan60°=50米．
答：此高層建筑的高度OC為50米．

（2）過(guò)P作PM⊥OC于M．
Rt△PMC中，∠CPM=45°，則PM=CM．
Rt△PBA中，tan∠PAB=．
設(shè)PB=x，則AB=2x．
CM=OC-OM=50-x，PM=OA+AB=50+2x．
∴50-x=50+2x，
即x=．
∵AB=2x，AP===x，
∴AB=（米），
AP=（米）．
答：坡腳A處到小樹樹干與坡面交界P處的坡面距離AP的長(zhǎng)度為（米）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．