Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)， =，CF=DF，連接AE、AF、EF，并延長FE交AB的延長線于點(diǎn)G．

（1）若正方形的邊長為4，則EG等于 ；

（2）求證：△ECF∽△FDA；

（3）比較∠EAB與∠EAF的大小．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明參見解析；（3）∠EAF＜∠EAB．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)正方形邊長得CF=2，由平行相似得：△FCE∽△GBE，則，代入求得BG=6，根據(jù)勾股定理得：EG=3；（2）根據(jù)已知邊的長度分別求=， ==，則=，再由正方形性質(zhì)得：∠C=∠D=90°，則△ECF∽△FDA；（3）先根據(jù)（2）中的△ECF∽△FDA，得∠CFE=∠DAF，==，證明∠EFA=90°，分別計(jì)算∠EAB與∠EAF的正切值，根據(jù)兩銳角正切大的角大，得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=BC=4，∠ABC=90°，DC∥AB，∵CF=DF，∴CF=CD=2，

∵DC∥AG，∴△FCE∽△GBE，∴，∵=，∴=，BE=BC=×4=3，∴=，∴BG=6，在Rt△BEG中，EG===3；故答案為：3；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AD=DC=4，∠C=∠D=90°，∵DF=FC=2，CE=1，∴=， ==，∴=，∴△ECF∽△FDA；（3）∵△ECF∽△FDA，∴∠CFE=∠DAF，==，∵∠DFA+∠DAF=90°，∴∠CFE+∠DFA=90°，∴∠EFA=90°，∴tan∠EAF==，∵=，∴tan∠EAB==，∵<，∴∠EAF＜∠EAB．