Question

（本題10分）如圖所示,△ABC中,∠BAC=900,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B.C重合）,在AC上取點(diǎn)E,使∠ADE=450.

（1）求證:△ABD∽△DEC.

（2）設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

（3當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長。

Answer 1

（1）見解析；（2）y=+1；（3）AE=2－或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角可得∠ABC=∠ACB=45°，根據(jù)∠ADE=45°可得：∠BDA+∠CDE=135°

∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE，從而得出△ABD∽△DCE；（2）根據(jù)△ABD∽△DCE，設(shè)BD=x，則CD=BC－BD=﹣x，根據(jù)求出CE的長度，然后根據(jù)AE=AC－CE求出函數(shù)關(guān)系式；（3）本題需要分AD=DE和ED=EA兩種情況進(jìn)行求解.

試題解析：（1）證明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°， ∴∠BAD=∠CDE． ∴△ABD∽△DCE．

（2）【解析】
∵△ABD∽△DCE， ∴； ∵BD=x， ∴CD=BC﹣BD=﹣x．

∴， ∴CE=x﹣．∴AE=AC﹣CE=1－（x﹣）=﹣x+1．即y=﹣x+1．

（3）【解析】
∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，

∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，第一種可能是AD=DE．

又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD∽△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=﹣1．∵BD=CE， ∴AE=AC﹣CE=2﹣．

當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，第二種可能是ED=EA．

∵∠ADE=45°， ∴此時(shí)有∠DEA=90°．

即△ADE為等腰直角三角形． ∴AE=DE=AC=．AE的長為2﹣或．

考點(diǎn)：三角形相似的判定與應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用.