【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c過點A(3,0),B(1,0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點,點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與A重合),過點P作PD∥y軸交直線AC于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值;
(3)△APD能否構(gòu)成直角三角形?若能,請直接寫出所有符合條件的點P坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)y=x2-4x+3;(2)點P在運動的過程中,線段PD長度的最大值為;(3)能,點P的坐標為:(1,0)或(2,-1).
【解析】
(1)把點A、B的坐標代入拋物線解析式,解方程組得到b、c的值,即可得解;
(2)求出點C的坐標,再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點P的坐標,然后表示出PD的長度,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答;
(3)分情況討論①∠APD是直角時,點P與點B重合,②求出拋物線頂點坐標,然后判斷出點P為在拋物線頂點時,∠PAD是直角,分別寫出點P的坐標即可;
(1)把點A(3,0)和點B(1,0)代入拋物線y=x2+bx+c,
得:
解得
∴y=x2-4x+3.
(2)把x=0代入y=x2-4x+3,得y=3.
∴C(0,3).
又∵A(3,0),
設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+m,
把點A,C的坐標代入得:
∴直線AC的解析式為:y=-x+3.
PD=-x+3- (x2-4x+3)=-x2+3x=+.
∵0<x<3,
∴x=時,PD最大為.
即點P在運動的過程中,線段PD長度的最大值為.
(3)①∠APD是直角時,點P與點B重合,
此時,點P(1,0),
②∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的頂點坐標為(2,﹣1),
∵A(3,0),
∴點P為在拋物線頂點時,∠PAD=45°+45°=90°,
此時,點P(2,﹣1),
綜上所述,點P(1,0)或(2,﹣1)時,△APD能構(gòu)成直角三角形;
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【題目】如圖,點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CQ,連接BP,DQ.
(1)、如圖a,求證:△BCP≌△DCQ;
(2)、如圖,延長BP交直線DQ于點E.
①如圖b,求證:BE⊥DQ;
②如圖c,若△BCP為等邊三角形,判斷△DEP的形狀,并說明理由.
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【題目】張老師將自己2019年10月至2020年5月的通話時長(單位:分鐘)的有關(guān)數(shù)據(jù)整理如下:
①2019年10月至2020年3月通話時長統(tǒng)計表
時間 | 10月 | 11月 | 12月 | 1月 | 2月 | 3月 |
時長(單位:分鐘) | 520 | 530 | 550 | 610 | 650 | 660 |
②2020年4月與2020年5月,這兩個月通話時長的總和為1100分鐘根據(jù)以上信息,推斷張老師這八個月的通話時長的中位數(shù)可能的最大值為( )
A.550B.580C.610D.630
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上兩點,且,連接OC,BD,OD.
(1)求證:OC垂直平分BD;
(2)過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E,連接AD,CD.
①依題意補全圖形;
②若AD=6,,求CD的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,正方形的頂點坐標分別為(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1),軸上有一點(0,2).作點關(guān)于點的對稱點,作點關(guān)于點的對稱點,作點關(guān)于點的對稱點,作點關(guān)于點的對稱點,作點關(guān)于點的對稱點,作點關(guān)于點的對稱點,……,按此操作下去,則的坐標為_____.
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【題目】如圖,大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁,一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向,該海輪向正東方向航行8海里到達點B處,這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向.如果海輪繼續(xù)向正東方向航行,會有觸礁的危險嗎?試說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.73)
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【題目】如圖,AB 是⊙O 的弦,半徑OE⊥ AB ,P 為 AB 的延長線上一點,PC 與⊙O相切于點 C,連結(jié) CE,交 AB 于點 F,連結(jié) OC.
(1)求證:PC=PF.
(2)連接 BE,若∠CEB=30°,半徑為 8,tan P ,求 FB 的長.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.打開電視,它正在播天氣預(yù)報是不可能事件
B.要考察一個班級中學生的視力情況適合用抽樣調(diào)查
C.拋擲一枚均勻的硬幣,正面朝上的概率是,若拋擲10次,就一定有5次正面朝上.
D.甲、乙兩人射中環(huán)數(shù)的方差分別為,,說明乙的射擊成績比甲穩(wěn)定
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【題目】如圖是某款籃球架的示意圖,支架AC與底座BC所成的∠ACB=65°,支架AB⊥BC,籃球支架HE∥BC,且籃板DF⊥HE于點E,已知底座BC=1米,AH=米,HF= 米,HE=1米.
(1)求∠FHE的度數(shù);
(2)已知該款籃球架符合國際籃聯(lián)規(guī)定的籃板下沿D距地面2.90米的規(guī)定,求DE的長度.(參考數(shù)據(jù):sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.41,≈1.41)
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