Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）若∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的情況下，點(diǎn)M在AC線段上移動(dòng)，請(qǐng)直接回答，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到什么位置時(shí)，MB+MD有最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADCF是菱形，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=DC，證明四邊形ADCF是菱形；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB；

（2）解：四邊形ADCF是菱形，

理由如下：∵△AEF≌△DEB，

∴AF=BD，

∵BD=DC，

∴AF=DC，又AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，

∴AD=DC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（3）連接BF交AC于M，

則點(diǎn)M即為所求，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴MD=MF，

∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．