Question

已知：直線y=ax+b與拋物線y=ax²﹣bx+c的一個交點為A（0，2），同時這條直線與x軸相交于點B，且相交所成的角β為45°．

（1）求點B的坐標；

（2）求拋物線y=ax²﹣bx+c的解析式；

（3）判斷拋物線y=ax²﹣bx+c與x軸是否有交點，并說明理由．若有交點設為M，N（點M在點N左邊），將此拋物線關于y軸作軸反射得到M的對應點為E，軸反射后的像與原像相交于點F，連接NF，EF得△DEF，在原像上是否存在點P，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=ax+b過A（0，2），同時這條直線與x軸相交于點B，且相交所成的角β為45°，

∴OA=OB，

∴當a＞0時，B（﹣2，0），當a＜0時，B（2，0）；

 

（2）把A（0，2），B（﹣2，0）代入直線y=ax+b得；，

解得：，

把A（0，2），B（2，0）代入直線y=ax+b得，

解得：，

∵拋物線y=ax²﹣bx+c過A（0，2），

∴c=2，

∴拋物線的解析式為：y=x²+2x+2或y=﹣x²+2x+2．

 

（3）存在．

如圖，拋物線為y=x²+2x+2時，b²﹣4ac=4﹣4×1×2＜0，拋物線與x軸沒有交點，

拋物線為y=﹣x²+2x+2時，b²﹣4ac=4﹣4×（﹣1）×2＞0，拋物線與x軸有兩個交點；

∵軸反射后的像與原像相交于點F，則F點即為A點，

∴F（0，2）

∵△NEP的面積與△NEF的面積相等且同底，

∴P點的縱坐標為2或﹣2，

當y=2時，﹣x²﹣2x+2=2，解得：x=﹣2或x=0（與點F重合，舍去）；

當y=﹣2時，﹣x²﹣2x+2=﹣2，解得：x=﹣1+，x=﹣1﹣，

∴存在滿足條件的點P，點P坐標為：（﹣2，2），（﹣1+，﹣2），（﹣1﹣，﹣2）．