Question

已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且A點坐標(biāo)為（－6，0）．

（1）求此二次函數(shù)的表達式；

（2）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）解方程x²－10x＋16＝0得x₁＝2，x₂＝8∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC,

∴B、C三點的坐標(biāo)分別是B（2，0）、C（0，8） 將A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表達式y＝ax²＋bx＋8，

_{36a-6b+8=0 4a+2b+8=0 解得a=-2/3 b=-8/3}

∴所求二次函數(shù)的表達式為y＝－x²－x＋8

2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，　 ∴AC＝10.

∵EF∥AC, 　∴△BEF∽△BAC.

∴＝ .　　即＝ . ∴EF＝.

過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝ .

∴＝ .　 ∴FG＝·＝8－m.

∴S＝S_△BCE－S_△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m²＋4m.

自變量m的取值范圍是0＜m＜8.

(3)存在． 理由如下:

∵S＝－m²＋4m＝－（m－4）²＋8,　　且－＜0,

∴當(dāng)m＝4時，S有最大值，S_最大值＝8. ∵m＝4，∴點E的坐標(biāo)為（－2，0）

∴△BCE為等腰三角形．