【題目】如圖,AB為⊙O直徑,P點為半徑OA上異于O點和A點的一個點,過P點作與直徑AB垂直的弦CD,連接AD,作BEAB,OEADBEE點,連接AE、DE、AECDF點.

(1)求證:DE為⊙O切線;

(2)若⊙O的半徑為3,sinADP=,求AD;

(3)請猜想PFFD的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】(1)證明見解析;(2)2;(3)PF=FD,證明見解析.

【解析】(1)如圖1,連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理得:∠ADB=90°,則ADBD,OEBD,由垂徑定理得:BM=DM,證明BOE≌△DOE,則∠ODE=OBE=90°,可得結(jié)論;

(2)設(shè)AP=a,根據(jù)三角函數(shù)得:AD=3a,由勾股定理得:PD=2a,在直角OPD中,根據(jù)勾股定理列方程可得:32=(3-a)2+(2a)2,解出a的值可得AD的值;

(3)先證明APF∽△ABE,得,由ADP∽△OEB,得,可得PD=2PF,可得結(jié)論.

詳證明:(1)如圖1,連接OD、BD,BDOEM,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,ADBD,

OEAD,

OEBD,

BM=DM,

OB=OD,

∴∠BOM=DOM,

OE=OE,

∴△BOE≌△DOE(SAS),

∴∠ODE=OBE=90°,

DE為⊙O切線;

(2)設(shè)AP=a,

sinADP=,

AD=3a,

PD=,

OP=3-a,

OD2=OP2+PD2,

32=(3-a)2+(2a)2,

9=9-6a+a2+8a2,

a1=,a2=0(舍),

a=時,AD=3a=2,

AD=2;

(3)PF=FD,

理由是:∵∠APD=ABE=90°,PAD=BAE,

∴△APF∽△ABE,

,

PF=,

OEAD,

∴∠BOE=PAD,

∵∠OBE=APD=90°,

∴△ADP∽△OEB,

PD=

AB=2OB,

PD=2PF,

PF=FD.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點D,E分別在BC,AC上,且BDCE,ADBE相交于點F,

(1)證明:△ABD≌△BCE;

(2)證明:△ABE∽△FAE;

(3)AF7,DF1,求BD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形EBGF,此時恰好四邊形AEHB為菱形,連接CH交FG于點M,則HM的長度為( 。

A. B. 2 C. D. 1

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【題目】某校九年級為了解學(xué)生課堂發(fā)言情況,隨機抽取該年級部分學(xué)生,對他們某天在課堂上發(fā)言的次數(shù)進行了統(tǒng)計,其結(jié)果如下表,并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,已知B、E兩組發(fā)言人數(shù)的比為5:2,請結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題:

(1)則樣本容量容量是______________,并補全直方圖;

(2)該年級共有學(xué)生500人,請估計全年級在這天里發(fā)言次數(shù)不少于12的次數(shù);

(3)已知A組發(fā)言的學(xué)生中恰有1位女生,E組發(fā)言的學(xué)生中有2位男生,現(xiàn)從A組與E組中分別抽一位學(xué)生寫報告,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求所抽的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖, 拋物線軸交于點A(-1,0),頂點坐標(1,n)與軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包 含端點),則下列結(jié)論:①;②;③對于任意實數(shù)m,總成立;④關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為  

A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中,已知點O,A,B均為網(wǎng)格線的交點.

(1)在給定的網(wǎng)格中以點O為位似中心,將線段AB放大為原來的2,得到線段(點A,B的對應(yīng)點分別為).畫出線段;

(2)將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段.畫出線段;

(3)以為頂點的四邊形的面積是 個平方單位.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于點O,點E在AO上,且OE=OC.

(1)求證:1=2;

(2)連結(jié)BE、DE,判斷四邊形BCDE的形狀,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,、相切于點,,上異于、的一個動點,則的度數(shù)為(

A. B. C. D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】自我省深化課程改革以來,某校開設(shè)了:A.利用影長求物體高度,B.制作視力表,C.設(shè)計遮陽棚,D.制作中心對稱圖形,四類數(shù)學(xué)實踐活動課.規(guī)定每名學(xué)生必選且只能選修一類實踐活動課,學(xué)校對學(xué)生選修實踐活動課的情況進行抽樣調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中信息解決下列問題:

(1)本次共調(diào)查名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中B所對應(yīng)的扇形的圓心角為度;

(2)補全條形統(tǒng)計圖;

(3)選修D類數(shù)學(xué)實踐活動的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色,現(xiàn)從4人中隨機抽取2人做校報設(shè)計,請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率.

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