Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，對(duì)角線BD長(zhǎng)為12．

（1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B的方向，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→C→B的方向，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

①當(dāng)PQ恰好被BD平分時(shí)，試求t的值；

②連接AQ，試求：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t取怎樣的值時(shí)，△APQ恰好是一個(gè)直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)16;(2) ①;②見解析.

【解析】

（1）連接AC交BD于O，由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠BCO=∠BCD=60°，OB=OD=BD=6，在Rt△BOC中，由三角函數(shù)求出BC=4，即可得出菱形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí)，設(shè)PQ交BD于M，則PM=QM，由平行線求出BP=DQ，根據(jù)題意得：AP=t，DQ=2t，則BP=4-t，得出4-t=2t，解方程即可；
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，不存在；
②當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí)，若∠PAQ=90°，與平行線的性質(zhì)得出∠AQD=∠PAQ=90°，則∠DAQ=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出DQ=AD=2，即2t=2，求出t的值即可；
若∠APQ=90°，作AN⊥CD于N，則∠PAN=90°，NQ=AP=t，由直角三角形的性質(zhì)得出DN=AD=2，得出方程2t=2+t，解方程即可；
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，證出∠BPQ=90°，即∠APQ=90°恒成立．得出當(dāng)2≤t≤4時(shí)△APQ都為直角三角形；即可得出答案．

解：（1）連接AC交BD于O，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠BCO=∠BCD=60°，OB=OD=BD=6，
在Rt△BOC中，BC= ，
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4×4=16；
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí)，
設(shè)PQ交BD于M，則PM=QM，
∵AB∥CD，
∴=1，
∴BP=DQ，
根據(jù)題意得：AP=t，DQ=2t，則BP=4-t，
∴4-t=2t，
解得：t=；
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，不存在；
②當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí)，若∠PAQ=90°，如圖2所示：

∵AB∥CD，
∴∠AQD=∠PAQ=90°，
∴∠DAQ=30°，
∴DQ=AD=2，
即2t=2，
解得：t=；
若∠APQ=90°，如圖3所示：

作AN⊥CD于N，則∠PAN=90°，NQ=AP=t，
∴∠DAN=30°，
∴DN=AD=2，
∵DQ=DN+NQ，
∴2t=2+t，
解得：t=2；
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，如圖4所示：

根據(jù)題意得：AP=t，BP=4-t，CQ=2t-4，
∴BQ=4-（2t-4）=8-2t，
∴BP=BQ，
作QH⊥BP于H，
∵∠ABC=60°，
∴∠BQH=30°，
∴BH=BQ=4-t，
∴BP=BH，即H與P重合，
∴∠BPQ=90°，
即∠APQ=90°恒成立．
∴當(dāng)2≤t≤4時(shí)△APQ都為直角三角形．
綜上可得，當(dāng)t=或2≤t≤4時(shí)，△APQ恰好為直角三角形．