Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，點P是BC邊上的動點（點P與點B、C不重合），過動點P作PD∥BA交AC于點D。 （1）若△ABC與△DPA相似，則∠APD是多少度？ （2）試問：當PC等于多少時，△APD的面積最大？最大面積是多少？ （3）若以線段AC為直徑的圓和以線段BP為直徑的圓相外切，求線段BP的長。

參考公式：函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，n≠0）圖象的頂點坐標是：

Answer 1

解：（1）∵∠B=90°-60°=30°， 當△ABC與△DPA相似時，∠APD=30°或60°。
（2）由題中條件知， 設CP=x， ∴x，，  當x=12時，△APD面積最大，其最大值是；
（3）如圖，不妨設BP=2x，則以BP為直徑的⊙O的半徑為x， 以AC為直徑的⊙O1的半徑為，即為6，連接⊙O1，則OO1=x+6， 過點O1作O1M ⊥BC于M， 在Rt△O1MC中，∠C=60°， ∴MC=3， ∵BC=24， ∴OM=BC-BO-MC=21-x， 在Rt△O1OM中，， O1O=x+6，OM=21-x， 由OM2+O1M2=OO12， 即， 解得x=8， 故BP的長為16。