【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+2(m﹣2)x+3的圖象與x、y軸交于A、B、C三點,其中A(3,0),拋物線的頂點為D.

(1)求m的值及頂點D的坐標;

(2)如圖1,若動點P在第一象限內(nèi)的拋物線上,動點N在對稱軸1上,當PA⊥NA,且PA=NA時,求此時點P的坐標;

(3)如圖2,若點Q是二次函數(shù)圖象上對稱軸右側(cè)一點,設點Q到直線BC的距離為d,到拋物線的對稱軸的距離為d1,當|d﹣d1|=2時,請求出點Q的坐標.

【答案】(1)m=3,(1,4);(2)(1,2);(3)(,2﹣7)

【解析】

(1)將點A的坐標代入函數(shù)表達式,即可求解;

(2)證明△NMA≌△AHP(AAS),則AH=MN=3﹣1=2,即yP=2=﹣x2+2x+3,即可求解;

(3)已知點B,點C的坐標可求出直線BC的解析式,過點Q作y軸的平行線交BC于點M,則∠BCO=∠M,設點Q(t,﹣t2+2t+3),則點M(t,3t+3),則d=DH=MQ[(3t+3)﹣(﹣t2+2t+3)],d1=t﹣1,即可求解.

(1)將點A的坐標代入函數(shù)表達式得:0=﹣32+2m2×3+3,

解得:m=3,

故拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x+3,

故點D的坐標為:(1,4);

(2)過點A作y軸的平行線交過點N與x軸的平行線于點M,交過點P與x軸的平行線于點H,

∵∠NAM+∠PAH=90°,∠NAM+∠ANM=90°,

∴∠PAH=∠ANM,

∵∠NMA=∠AHP=90°,AP=NP,

∴△NMA≌△AHP(AAS),

∴AN=MN=3﹣1=2,

即yP=2=﹣x2+2x+3,

解得:x=(舍去負值),

故點P;

(3)設直線BC的表達式為:y=kx+b,則,解得:,

由點B、C的表達式為:y=3x+3,

如圖2,過點Q作y軸的平行線交BC于點M,交x軸于點N,

則MN∥y軸,

∴∠BCO=∠M,而,則=sin∠M,

過點Q作QH⊥BM,設點Q(t,﹣t2+2t+3),則點M(t,3t+3),

則d=DH=MQ [(3t+3)﹣(﹣t2+2t+3)],d1=t﹣1,

∵|d﹣d1|=2,即 [(3t+3)﹣(﹣t2+2t+3)]﹣(t﹣1)=±2,

解得:t=或﹣1(舍去),

故點Q的坐標為:

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