Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+2x+與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且k為正整數(shù)．

（1）求k的值；

（2）當(dāng)二次函數(shù)y=x2+2x+圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線y=3x+2與之交于A、B兩點(diǎn)，若M是拋物線上在直線y=3x+2下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△MAB面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，并求出△MAB面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個(gè)新圖象.若直線y=kx+2（k>0）與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）k為1，2；

（2）M坐標(biāo)為，S△MAB=；

（3）k=1或時(shí)，與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）利用一元二次方程根的判別式可得到關(guān)于k的不等式，利用k為正整數(shù)可求得k的值；
（2）由條件可求得k的值，則可求得二次函數(shù)解析式，可求得A、B坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得線段MN的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）可畫出二次函數(shù)的圖象，當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)，可知直線與拋物線有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線不過A點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，利用方程可求得對(duì)應(yīng)的b的值．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=x2+2x+與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

∴Δ=

∴k﹣1＜2．

∴k＜3．

∵k為正整數(shù)，

∴k為1，2．

（2）把x=0代入方程x2+2x+得k=1，

此時(shí)二次函數(shù)為y=x2+2x，

此時(shí)直線y=3x+2與二次函數(shù)y=x2+2x的交點(diǎn)為A（﹣1，-1），B（2，8）

設(shè)與直線y=3x+2平行的直線為y=3x+b，列方程組得： 即：x2-x-b=0，△=b2-4ac=1+4b=0，所以b=時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，代入求得交點(diǎn)M坐標(biāo)為(， ).

過點(diǎn)M作MN∥x軸交直線AB于點(diǎn)N，點(diǎn)N坐標(biāo)為(， ).

∴MN=.

∴S△MAB=MN(yB-yA)=

（3）由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于x軸對(duì)稱，所以其解析式為y=﹣x2﹣2x，

當(dāng)直線與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)（如圖所示），直線為l1 、l2，其中l1 過點(diǎn)C，l2與翻轉(zhuǎn)部分圖象有一個(gè)交點(diǎn).分為以下兩種情況：

①直線l1：y=kx+2過點(diǎn)C（-2，0），代入y=kx+2得：k=1.

②直線l2：

則有一組解，此時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

即△=0，解得： ， （舍去）

綜上所述k=1或時(shí)，與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)．