【題目】在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等邊三角形△ACD,E為AC的中點,連接DE并延長交BC于點F,連接BD.
(1)如圖1,若∠BAC=100°,則∠ABD的度數(shù)為_____,∠BDF的度數(shù)為______;
(2)如圖2,∠ACB的平分線交AB于點M,交EF于點N,連接BN,若BN=DN,∠ACB=.
(I)用表示∠BAD;
(II)①求證:∠ABN=30°;
②直接寫出的度數(shù)以及△BMN的形狀.
【答案】(1)10°,20°;(2)(Ⅰ);(II)①證明見解析;②=40°,△BMN等腰三角形.
【解析】
(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AC,∠CAD=60°,利用等量代換可得AD=AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠ABD的度數(shù),由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠ADE=30°,進而可求出∠BDF的度數(shù);
(2)(Ⅰ)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可用表示出∠BAC,由∠CAD=60°即可表示出∠BAD;
(Ⅱ)①如圖,連接AN,由角平分線的定義可得∠CAN=,根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得DN是AC的垂直平分線,可得AN=CN,∠CAN=∠CAN,即可求出∠DAN=+60°,由(Ⅰ)可知∠BAD=240°-2,由△ABN≌△AND可得∠BAN=∠DAN,可得∠BAN=120°+,列方程即可求出的值,利用外角性質(zhì)可求出∠ANM的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和可求出∠AMN的度數(shù),利用外角性質(zhì)可求出∠MNB的度數(shù),可得∠BMN=∠ABN,可證明△BMN是等腰三角形.
(1)∵△ACD是等邊三角形,
∴AD=AC=CD,∠CAD=∠ADC=60°,
∵AB=AC,
∴AD=AB,
∵∠BAC=100°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°,
∴∠ABD=∠ADB=(180°-∠BAD)=10°,
∵點E為AC中點,
∴ ∠ADE=∠CDE=30°,
∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=20°,
故答案為:10°,20°
(2)(Ⅰ)∵AB=AC,∠ACB=,
∴∠ABC=∠ACB=,
∴,
∵△ACD為等邊三角形,
∴∠CAD=60°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=240°+.
(II)①如圖,連接,
∵△ACD為等邊三角形,
∴,
在△ABN和△AND中,,
∴△ABN≌△AND,
∴∠ABN=∠ADN,
∵點E的中點,
∴DF⊥AC,ED平分∠ADC,
∴∠ADE=30°,
∴∠ABN=∠ADE=30°.
②∵CM平分∠ACB,∠ACB=,
∴∠CAM=∠BCM=,
∵點E是AC的中點,△ACD是等邊三角形,
∴DN是AC的垂直平分線,
∴AN=CN,
∴∠CAN=∠ACM=,
∴∠DAN=∠CAD+∠CAN=60°+,
∵△ABN≌△AND,
∴∠BAN=∠DAN=60°+,
∴∠BAN=2∠BAN=120°+,
由(Ⅰ)得:∠BAD=240°-2,
∴120°+=240°-2,
解得:=40°,
∴∠BAN=60°+=80°,∠ANM=∠NAC+∠NCA==40°,
∴∠AMC=180°-∠BAN-∠ANM=60°,
∵∠ABN=30°,
∴∠MNB=∠AMC-∠ABN=30°,
∴∠ABN=∠MNB,
∴MB=MN,
∴是等腰三角形.
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【題目】如圖,PA、PB切⊙O于A、B,點C在弧AB上,DE切⊙O于C,交PA、PB于D、E,已知PO=13cm,⊙O的半徑為5cm,則△PDE的周長是_____.
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【題目】發(fā)現(xiàn)任意三個連續(xù)的整數(shù)中,最大數(shù)與最小數(shù)這兩個數(shù)的平方差是4的倍數(shù);
驗證:(1) 的結(jié)果是4的幾倍?
(2)設(shè)三個連續(xù)的整數(shù)中間的一個為n,計算最大數(shù)與最小數(shù)這兩個數(shù)的平方差,并說明它是4的倍數(shù);
延伸:說明任意三個連續(xù)的奇數(shù)中,最大的數(shù)與最小的數(shù)這兩個數(shù)的平方差是8的倍數(shù).
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法:
①2a+b=0;
②當(dāng)﹣1≤x≤3時,y<0;
③若(x1,y1)、(x2,y2)在函數(shù)圖象上,當(dāng)x1<x2時,y1<y2
④9a+3b+c=0
其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②③ C. ①④ D. ③④
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,分別以△ABC的邊AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,連接EF、ND,則圖中陰影部分的面積之和等于_____.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點E,AD⊥BC于點D,∠BAD=45°,AD與BE交于點F,連接CF.
(1)求證:BF=2AE;
(2)若CD=,求AD的長.
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【題目】如圖,點O為正六邊形ABCDEF的中心,點M為AF中點,以點O為圓心,以OM的長為半徑畫弧得到扇形MON,點N在BC上;以點E為圓心,以DE的長為半徑畫弧得到扇形DEF,把扇形MON的兩條半徑OM,ON重合,圍成圓錐,將此圓錐的底面半徑記為r1;將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面半徑記為r2,則r1:r2=_____.
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【題目】某商場計劃購進、兩種新型節(jié)能臺燈共盞,這兩種臺燈的進價、售價如表所示:
()若商場預(yù)計進貨款為元,則這兩種臺燈各購進多少盞?
()若商場規(guī)定型臺燈的進貨數(shù)量不超過型臺燈數(shù)量的倍,應(yīng)怎樣進貨才能使商場在銷售完這批臺燈時獲利最多?此時利潤為多少元?
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