Question

【題目】（1）直線l1：y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2：y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，l1與l2交于點(diǎn)C，直線l3過(guò)線段AB的中點(diǎn)和點(diǎn)C，求直線l3的解析式；

（2）已知平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與雙曲線y＝交于A、B不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求出直線l的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y＝4x2上的不同兩點(diǎn)（y1≠y2），線段AB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)P，與線段AB交于點(diǎn)M（xm，ym），則稱線段AB為點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a）時(shí)（a為常數(shù)），證明點(diǎn)P的“相關(guān)弦”中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相同．

Answer 1

【答案】（1）直線l3的表達(dá)式為：x＝1；（2）直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）直線l1：y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2：y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0），則AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），即可求解；

（2）直線l的表達(dá)式為：y＝kx+1﹣2k，將直線l的表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：kx2+（1﹣2k）﹣3＝0，則x1+x2＝＝2，解得：k＝﹣，；

（3）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（m，4m2）、（n，4n2），則直線AB中垂線的表達(dá)式可設(shè)為：y＝x+a，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，），將點(diǎn)M的表達(dá)式代入AB中垂線的表達(dá)式得：yM＝＝×+a＝+a．

解：（1）直線l1：y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2：y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0），則AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），

聯(lián)立l1、l2的表達(dá)式并解得：x＝1，故點(diǎn)C（1，2），

故直線l3的表達(dá)式為：x＝1；

（2）設(shè)直線l的表達(dá)式為：y＝kx+b，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線l的表達(dá)式為：y＝kx+1﹣2k，

將直線l的表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：kx2+（1﹣2k）﹣3＝0，

則x1+x2＝＝2，解得：k＝﹣，

故直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+2；

（3）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（m，4m2）、（n，4n2），

則直線AB表達(dá)式中的k值為：＝4m+4n，

則直線AB中垂線的表達(dá)式可設(shè)為：y＝x+a，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，），

將點(diǎn)M的表達(dá)式代入AB中垂線的表達(dá)式得：yM＝，

故點(diǎn)P的“相關(guān)弦”中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為常數(shù)，即都相同．