Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．
（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；
（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，正比例函數(shù)的解析式為y=k′x．把點M（-2，-1）分別代入其函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法即可求出對應的函數(shù)的關系式；
（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，

1

2

x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，

1

2

x）．根據(jù)三角形的面積公式列出關于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0），正比例函數(shù)的解析式為y=k′x．
∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經過點M（-2，-1），
∴-1=

k

-2

，-1=-2k′，
∴k=2，k′=

1

2

．
∴正比例函數(shù)的解析式為y=

1

2

x，反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

．

（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，

1

2

x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，

1

2

x）．
∵S_△OBQ=S_△OAP，
∴

1

2

•x•

1

2

x=

1

2

×2×1，
解得x=±2．
當x=2時，

1

2

x=1；
當x=-2時，

1

2

x=-1．
故在直線MO上存在這樣的點Q（2，1）或（-2，-1），使得△OBQ與△OAP面積相等．

點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及三角形的面積，利用形數(shù)結合解決此類問題，是非常有效的方法．