Question

（2012•河北）如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=

5

13

．
探究：如圖1，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH=

12

，AC=

15

，△ABC的面積S_△ABC=

84

；
拓展：如圖2，點(diǎn)D在A(yíng)C上（可與點(diǎn)A，C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C作直線(xiàn)BD的垂線(xiàn)，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代數(shù)式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的求值范圍．
發(fā)現(xiàn)：請(qǐng)你確定一條直線(xiàn)，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線(xiàn)的距離之和最小（不必寫(xiě)出過(guò)程），并寫(xiě)出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=

5

13

，可得AH=12，BH=5，則CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S_△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面積公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=

2S△ABD

x

，n=

2S△CBD

x

，再根據(jù)S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC=84，即可求出（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，然后由點(diǎn)D在A(yíng)C上（可與點(diǎn)A，C重合），可知x的最小值為AC邊上的高，最大值為BC的長(zhǎng)；
（3）由于BC＞BA，所以當(dāng)以B為圓心，以大于

56

5

且小于13為半徑畫(huà)圓時(shí)，與AC有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故根據(jù)點(diǎn)D的唯一性，分兩種情況：①當(dāng)BD為△ABC的邊AC上的高時(shí)，D點(diǎn)符合題意；②當(dāng)AB＜BD≤BC時(shí)，D點(diǎn)符合題意；
發(fā)現(xiàn)：由于A(yíng)C＞BC＞AB，所以使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線(xiàn)的距離之和最小的直線(xiàn)就是AC所在的直線(xiàn)．

解答：解：探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=

5

13

，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

×14×12=84．
故答案為12，15，84；

拓展  （1）由三角形的面積公式，得S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

xm，S_△CBD=

1

2

BD•CF=

1

2

xn；
（2）由（1）得m=

2S△ABD

x

，n=

2S△CBD

x

，
∴m+n=

2S△ABD

x

+

2S△CBD

x

=

168

x

，
∵AC邊上的高為

2S△ABC

15

=

2×84

15

=

56

5

，
∴x的取值范圍是

56

5

≤x≤14．
∵（m+n）隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=

56

5

時(shí)，（m+n）的最大值為15；
當(dāng)x=14時(shí)，（m+n）的最小值為12；
（3）x的求值范圍是x=

56

5

或13＜x≤14．
發(fā)現(xiàn)：∵AC＞BC＞AB，
∴過(guò)A、B、C三點(diǎn)到這條直線(xiàn)的距離之和最小的直線(xiàn)就是AC所在的直線(xiàn)，AC邊上的高的長(zhǎng)為

56

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．