Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B 兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)（1）中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足
S_△PAB﹦8，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)（1）中拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
令y=0，則x²-2x-3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意得，S_△ABC=×4×|y|=8，
解得：|y|=4，即y=±4，
當(dāng)y=4時(shí)，x²-2x-3=4，
解得：x₁=1+2，x₂=1-2，
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-2x-3=-4，
解得：x=1，
故當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1+2，4）、（1-2，4）、（1，-4）時(shí)，S_△PAB=8；

（3）存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
在拋物線y=x²-2x-3的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最�。�
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最�。�
∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B（3，0），
∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，
拋物線y=x²-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點(diǎn)B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．
分析：（1）根據(jù)拋物線解析式可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)S_△PAB﹦8，求得y值，分別代入從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，又能求得由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解、三角形的面積及軸對稱求最短路徑的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注意培養(yǎng)自己解綜合題的能力．