Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點，且DF=FE．

  （1）圖1中是否存在與∠BDE相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；

  （2）求證：BE=EC；

  （3）若將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”和“點F是DE與AC的交點，且DF=FE”分別改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”和“點F是ED的延長線與AC的交點，且DF=kFE”，其他條件不變（如圖2）．當AB=1，∠ABC=a時，求BE的長（用含k、a的式子表示）．

Answer 1

解：（1）∠DCA=∠BDE．

證明：∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．

（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，

則有∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA=DG．

∴DG=AB．

∴DA=BG．

∵AF∥EG，DF=EF，

∴DA=AG．

∴AG=BG．

∵EG∥AC，

∴BE=EC．

（3）過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，如圖2，

∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA．

∵AC∥EG，

∴∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA=DG

∴DG=AB=1．

∵AF∥EG，

∴△ADF∽△GDE．

∴．

∵DF=kFE，

∴DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．

∴．

∴AD=．

∴GE=AD=．

過點A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH．

∴BC=2BH．

∵AB=1，∠ABC=α，

∴BH=AB•cos∠ABH=cosα．

∴BC=2cosα．

∵AC∥EG，

∴△ABC∽△GBE．

∴．

∴．

∴BE=．

∴BE的長為．