已知正整數(shù)a、b、c滿足不等式2a2+b2+c2+10＜2ab+2b+6c，則abc=
 
．
分析：我們先看如下事實(shí)：3＜5，4＜5，3+1＜5，4+1≤5；本題由于a、b、c均為正整數(shù)，且有2a2+b2+c2+10＜2ab+2b+6c成立，則式子左右兩邊必有正整數(shù)，僅當(dāng)左邊比右邊小1時(shí)，本題才有解，因此左邊式子加1有可能與右邊的式子相等，利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式大于等于0，求出a，b，c的值，即可確定出abc的值．
解答：解：根據(jù)題意得：2a2+b2+c2+10+1≤2ab+2b+6c，
整理得：2a2+b2+c2+11-2ab-2b-6c≤0，
兩邊乘以2得：4a2+2b2+2c2-4ab-4b-12c+22≤0，
變形得：（2a-b）2+（b-2）2+2（c-3）2≤0
∴b=2，c=3，a=1，
則abc=6．
故答案為：6
點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

12、已知正整數(shù)m，n都是質(zhì)數(shù)，并且7m+n，mn+11也是質(zhì)數(shù)，試求（mn）n+（nm）m的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.2]=3，已知正整數(shù)n小于2004，且[
n
3
]+[
n
6
]=
n
2
，則這樣的n有
 
個(gè)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正整數(shù)x滿足
x-2
3
＜0，則代數(shù)式(x-2)2009-
9
x
=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

9、已知正整數(shù)p和q都是質(zhì)數(shù)，且7p+q與pq+11也都是質(zhì)數(shù)，試求pq+qp的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正整數(shù)x滿足
x-2
3
＜0，則代數(shù)式（x-2）2011-
7
x
的值是
-8
-8
．

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