Question

【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng),連接DP交AC于點(diǎn)Q．

（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí),都有△ADQ≌△ABQ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AP=2；（3）P在B點(diǎn)，C點(diǎn)，或在CP=4（-1）處，△ADQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則有S△ADQ=ADQE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有，解得AP值；

（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性質(zhì)知，①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，QD=QA，此時(shí)△ADQ是等腰三角形，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③當(dāng)AD=AQ=4時(shí)，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的對(duì)角線的性質(zhì)得到CP的值．

試題解析：（1）在正方形ABCD中，

無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有

AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，

∴△ADQ≌△ABQ；

（2）△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，

過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，

∵在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，

∴S正方形ABCD=16，

∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=，

∴QE=，

∵EQ∥AP，

∴△DEQ∽△DAP，

∴，即，

解得AP=2，

∴AP=2時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，

①當(dāng)AD=DQ時(shí)，則∠DQA=∠DAQ=45°

∴∠ADQ=90°，P為C點(diǎn)，

②當(dāng)AQ=DQ時(shí)，則∠DAQ=∠ADQ=45°，

∴∠AQD=90°，P為B，

③AD=AQ（P在BC上），

∴CQ=AC-AQ=BC-BC=（-1）BC

∵AD∥BC

∴，即可得=1，

∴CP=CQ=（-1）BC=4（-1）

綜上，P在B點(diǎn)，C點(diǎn)，或在CP=4（-1）處，△ADQ是等腰三角形．