Question

【題目】在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點D、E、C三點在同一條直線上，連接BD．

（1）如圖1，求證：△ADB≌△AEC

（2）如圖2，當∠BAC＝∠DAE＝90°時，試猜想線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

（3）如圖3，當∠BAC＝∠DAE＝120°時，請直接寫出線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系式為：　 　（不寫證明過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD＝AD+BD，理由見解析；（3）CD＝AD+BD

【解析】

（1）由“SAS”可證△ADB≌△AEC；

（2）由“SAS”可證△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性質(zhì)可得DE＝AD，可得結(jié)論；

（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解決問題；

證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）CD＝AD+BD，

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

∴BD＝CE，

∵∠BAC＝90°，AD＝AE，

∴DE＝AD，

∵CD＝DE+CE，

∴CD＝AD+BD；

（3）作AH⊥CD于H．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

∴BD＝CE，

∵∠DAE＝120°，AD＝AE，

∴∠ADH＝30°，

∴AH＝AD，

∴DH＝＝AD，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，

故答案為：CD＝AD+BD．