Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)D繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到點(diǎn)E，連接AE．若AE＝，則BD＝_____．

Answer 1

【答案】1或3

【解析】

取AB中點(diǎn)F，連接EF交直線EF交AC于點(diǎn)K．分點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部或外部?jī)煞N情形分別求解即可．

解：取AB中點(diǎn)F，連接EF交直線EF交AC于點(diǎn)K．

情形1：當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖1中，連接CF，DE．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝8，AC＝BC＝4，

∵AF＝FB，

∴CF＝BF＝AF，

∵∠B＝60°，

∴△BCF是等邊三角形，

∴CF＝CB，∠BCF＝60°，

∵CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴∠BCF＝∠DCE，

∴∠BCD＝∠FCE，

∴△BCD≌△FCE(SAS)，

∴BD＝EF，∠B＝∠CFE＝60°，

∴∠CFE＝∠BCF＝60°，

∴EF∥BC，

∵AF＝FB，

∴AK＝CK＝2，FK＝BC＝2，

在Rt△AEK中，EK＝＝1，

∴EF＝FK﹣EK＝1．

情形2：當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí)，同法可得：BD＝EF＝FK+EK＝2+1＝3，

故答案為1或3．