Question

如圖1，拋物線y=ax²+4x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C；
（1）求拋物線的解析式；
（2）將△OAC沿AC翻折得到△ACE，直線AE交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)N，使三點(diǎn)O，M，N構(gòu)成以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+4x+b經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)P為直線AE和拋物線的交點(diǎn)，欲求點(diǎn)P，必須先求出直線AE的解析式．設(shè)直線AE與y軸的交點(diǎn)為F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到FE=3OF，設(shè)OF=x，則EF=3x，AF=3x-1，進(jìn)而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（n，n-3），過(guò)M作MG⊥x軸于G，過(guò)N作NH⊥x軸于H．分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，因?yàn)椤鱋MN是等腰直角三角形，即可證得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，解法同①；③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解法同①．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+4x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∴

a+4+b=0 9a+12+b=0

，
解得：

a=-1 b=-3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；

（2）如圖，設(shè)AE交y軸于點(diǎn)F．
∵將△OAC沿AC翻折得到△ACE，
∴∠FOA=∠FEC=90°，CE=CO=3，AE=AO=1．
∵∠OFA=∠EFC，∠FOA=∠FEC=90°，
∴△FOA∽△FEC，
∴

OF

EF

=

OA

CE

=

1

3

，
設(shè)OF=x，則EF=3x，F(xiàn)A=EF-AE=3x-1．
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
FA²=OF²+AO²，
即（3x-1）²=x²+1，
解得x=

3

4

，
即OF=

3

4

，F(xiàn)（0，

3

4

）．
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+m，將A（1，0），F(xiàn)（0，

3

4

）代入，得

k+m=0 m= 3 4

，解得

k=- 3 4 m= 3 4

．
則直線AE的解析式為y=-

3

4

x+

3

4

．
解方程組

y=-x2+4x-3 y=- 3 4 x+ 3 4

，
解得

x= 15 4 y=- 33 16

或

x=1 y=0

．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

15

4

，-

33

16

）；

（3）在拋物線上存在點(diǎn)N（2，1）或（5，-8），能使三點(diǎn)O，M，N構(gòu)成以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．理由如下：
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC的解析式為：y=x-3；
過(guò)M作MG⊥x軸于G，過(guò)N作NH⊥x軸于H．設(shè)點(diǎn)M（n，n-3），分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，如圖，則OG=n，MG=n-3；
∵點(diǎn)O，M，N構(gòu)成以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴∠MON=90°，OM=ON，
則可證得△MOG≌△ONH，得：
OG=NH=n，MG=OH=n-3，
∴N（n-3，-n），
將其代入拋物線的解析式中，得：
-（n-3）²+4（n-3）-3=-n，
整理得：n²-11n+24=0，
解得n=8，n=3（舍去）；
故M（8，5），N（5，-8）；
②當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，OG=-n，MG=3-n；
同①可得：MG=OH=3-n，OG=NH=-n，
則N（3-n，n），代入拋物線的解析式可得：
-（3-n）²+4（3-n）-3=n，
整理得：n²-n=0，故n=0或=1．
由于點(diǎn)M在第三象限，
所以n＜0，
故n=0或n=1均不合題意，此種情況不成立；
③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，如圖，則OG=n，MG=3-n；
同①得：N（3-n，n），在②中已經(jīng)求得此時(shí)n=0（舍去），n=1；
故M（1，-2），N（2，1）；
綜上可知：存在符合條件的N點(diǎn)，且坐標(biāo)為N（2，1）或（5，-8）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．需要注意的是第（3）題中，由于點(diǎn)M的位置不確定，一定要根據(jù)點(diǎn)M所處的不同象限分類(lèi)討論，以免漏解．