Question

【題目】定義，如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N為線段AB的勾股分割點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=3，MN=5，求BN的長

（2）如圖2，在Rt△ABC中，AC=BC，點(diǎn)M，N在斜邊AB上，∠MCN=45°，求證：點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)；陽陽在解決第（2）小題時(shí)遇到了困難，陳老師對(duì)陽陽說：要證明勾股分割點(diǎn)，則需設(shè)法構(gòu)造直角三角形，你可以把△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度試試，請(qǐng)根據(jù)陳老師的提示完成證明過程．

（3）如圖3，C是線段AB上的一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)?/span>BC上畫一點(diǎn)D，使C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn)

（要求：完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并在右側(cè)分步寫出作圖步驟）

Answer 1

【答案】（1）4或.（2）證明見解析，（3）作圖見解析.

【解析】

（1）分兩種切線利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AB，且AD=BN．只要證明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再證明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解決問題；

（3）根據(jù)定義畫圖即可.

（1）解：當(dāng)MN最長時(shí)，BN==4；

當(dāng)BN最長時(shí)，BN=；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AB，且AD=BN

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°

∴∠MCD=∠BCM，

∴△MDC≌△MNC，

∴MD=MN

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．

（3）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點(diǎn)D即為所求；如圖3中所示．