【題目】如圖1,在ABCD中,AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)F,CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E.
圖1 圖2
(1)求證:四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)如圖2,若BE⊥EC,求證:四邊形ABFE是菱形.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】(1)直接利用角平分線的性質(zhì)再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)而得出AF∥EC,即可得出答案;
(2)直接利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AO=FO,BO=EO,進(jìn)而得出答案.
證明:(1)∵AF平分∠BAD,CE平分∠BCD,
∴∠FAE=∠BAE,∠FCE=∠FCD.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠BAE=∠FCD,AD∥BC.
∴∠FAE=∠FCE,∠FCE=∠CED.
∴∠FAE=∠CED.
∴AF∥EC.
又∵AE∥CF,
∴四邊形AFCE為平行四邊形.
(2)∵AF∥EC,BE⊥EC,
∴∠AOE=∠BEC=90°.
∴∠AOE=∠AOB=90°.
在△ABO和△AEO中,
,
∴△ABO≌△AEO(ASA).
∴BO=EO.
同理可得△ABO≌△FBO,
∴AO=FO.
∴四邊形ABFE是平行四邊形.
又∵AF⊥BE,
∴平行四邊形ABFE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)P(6,3),過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,反比例函數(shù)y= 的圖象交PM于點(diǎn)A,交PN于點(diǎn)B.若四邊形OAPB的面積為12,則k= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)四邊形紙片 ABCD,∠B=∠D=90°,把紙片按如圖所示折疊,使點(diǎn) B 落在 AD 邊上的 B′點(diǎn),AE 是折痕.
(1)試判斷 B′E 與 DC 的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)如果∠C=128°,求∠AEB 的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合),分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線,垂足分別為點(diǎn)E、F,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1,易證OE=OF(不需證明)
(2)直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠OFE=30°時(shí),如圖2、圖3的位置,猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你對(duì)圖2、圖3的猜想,并選擇一種情況給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向,與燈塔P的距離為30海里的A處,輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處,則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為( 。
A.60海里
B.45海里
C.20 海里
D.30 海里
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,△BEF與△GEF關(guān)于直線EF對(duì)稱,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)G,且點(diǎn)G在邊AD上.若EG⊥AC,AB=6 ,則FG的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海靜中學(xué)開展以“我最喜愛的職業(yè)”為主題的調(diào)查活動(dòng),圍繞“在演員、教師、醫(yī)生、律師、公務(wù)員共五類職業(yè)中,你最喜愛哪一類?(必選且只選一類)”的問題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求在被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛教師職業(yè)的人數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若海靜中學(xué)共有1500名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)最喜愛律師職業(yè)的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工程限期完成,甲隊(duì)單獨(dú)做正好按期完成,乙隊(duì)單獨(dú)做則要延期3天完成.現(xiàn)兩隊(duì)先合作2天,再由乙隊(duì)單獨(dú)做,也正好按期完成.如果設(shè)規(guī)定的期限為x天,那么根據(jù)題意可列出方程: =1; 2=1;③=1;④.其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】(本小題滿分9分)如圖,四邊形ABCD中AB∥CD,AB≠CD,BD=AC。
(1)求證:AD=BC;
(2)若E,F,G,H分別是AB,CD,AC,BD的中點(diǎn),求證:線段EF與線段GH互相垂直平分。
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