Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AB為直徑作⊙O，P是AB上一點，過點P作AB的垂線交AC的延長線于點Q，D是PQ上一點，DC=DQ．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，BC=QC，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由角之間的等量關(guān)系求得∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，即∠OCD=90°，
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，求出CQ、AQ、PQ，進而算出BP、PO，得到的值．
解答：（1）證明：連接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵CD=DQ，
∴∠DCQ=∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，OC=r，AC=0.5AB=r，BC=r；
∴CQ=BC=r，AQ=AC+CQ=（1+）r，
PQ=AQ•c0s60°=0.5（1+）r；
∴BP=AB-AP=0.5（3-）r，PO=AP-OA=0.5（-1）r，
∴BP：PO=．
點評：本題考查了切線的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．