Question

【題目】如圖a，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且△APQ為等邊三角形，AB=AC,

（1）求證：BP=CQ.

（2）如圖a，若∠BAC=120，AP=3，求BC的長(zhǎng).

（3）若∠BAC=120，沿直線BC向右平行移動(dòng)△APQ得到△A′P′Q′（如圖b），A′Q′與AC交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到何處時(shí)，△AA′M≌△CQ′M？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）9；（3）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△AA′M≌△CQ′M，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)AB=AC，△APQ為等邊三角形，利用AAS證得，從而證得結(jié)論；

（2）根據(jù)AB=AC,∠BAC=120，得∠B=∠C=30，根據(jù)△APQ為等邊三角形結(jié)合外角定理，∠BAP =∠B=∠C=∠CAQ=30，繼而求得答案；

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可得到答案.

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C

∵△APQ為等邊三角形，

∴AP=AQ，∠APQ=∠AQP

∴∠APB=∠AQC

∴

∴BP=CQ

(2)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120

∴∠B=∠C=30

已知△APQ為等邊三角形，∴∠APQ=∠AQP=60

∴∠BAP =∠B=∠C=∠CAQ=30

∴AP=BP，AQ=CQ,

已知△APQ為等邊三角形

∴BP=PQ=QC=AP=3

∴BC=9.

（3）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到BC的中點(diǎn)，即，P′為BC的中點(diǎn)時(shí)，

△AA′M≌△CQ′M.

證明：沿直線BC向右平行移動(dòng)△APQ得到△A′P′Q′.

由平移的性質(zhì)可知：PP'=AA'=QQ'.

AA'∥BC

∴∠C=∠MAA'①

當(dāng)P′為BC的中點(diǎn)時(shí)，BP'=CP'，由（2）的解答可知，PB=QC=PQ

∴BP'－PB=CP'－QC

∴PP'=AA'=QQ'= PQ= QC

∴點(diǎn)Q'為QC的中點(diǎn).

Q'C=QQ'=AA'②

又∠AMA'=∠CMQ'③

∴由①②③可得△AA′M≌△CQ′M.